The Dynamical Models of Sobolev Type with Showalter - Sidorov Condition and Additive "Noise"

Abstract

Концепция ≪белого шума≫, первоначально построенная в конечномерных про-странствах, переносится в бесконечномерные пространства. Цель переноса -развитие теории стохастических уравнений соболевского типа и разработка приложений, имею-щих практическую значимость. Для достижения цели вводится производная Нельсона -Гликлиха и строятся пространства ≪шумов≫. Уравнения соболевского типа с отно-сительно p-ограниченными операторами рассматриваются в пространствах дифферен-цируемых шумов , причем доказывается существование и единственность их класси-ческих решений. В качестве приложения рассматривается стохастическое уравнение Баренблатта -Желтова -Кочиной в ограниченной области с однородным граничным условием Дирихле и начальным условием Шоуолтера -Сидорова.Ключевые слова: уравнения соболевского типа; винеровский процесс; производная Нельсона -Гликлиха; белый шум ; пространство шумов ; стохастическое урав-нение Баренблатта -Желтова -Кочиной. ВведениеЛинейное стохастическое дифференциальное уравнение в простейшей ситуации имеет видгде S и A -некоторые линейные операторы, которые в дальнейшем будут определены; ψ = ψ(t) -детерминированное, а ω = ω(t) -стохастическое внешние воздействия; η = η(t) -искомый случайный процесс. Изначально под dω понимался дифференциал винеровского процесса ω = W (t), обобщенная производная которого традиционно трактуется как белый шум. Первым обыкновенные дифференциальные уравнения вида (0.1) начал изучать К. Ито, затем к исследованиям подключились Р.Л. Стратонович и А.В. Скороход. Подход Ито -Стратоновича -Скорохода в конечномерном случае популярен до сих пор [1, 2]. Более того, он успешно распространен и на бесконечномерную ситуацию [3, 4], и даже на уравнения соболевского типа [5, 6]. Отметим еще подход, представленный школой И.В. Мельниковой [7, 8], в котором уравнение (0.1) рассматривается в пространствах Шварца, где обобщенная производная винеровского процесса имеет смысл. Между тем возник [9] и активно развивается [10, 11] новый подход в исследованиях уравнения (0.1), где под ≪белым шумом≫ понимается производная Нельсона -Гликлиха винеровского процесса. (Заметим, что данный ≪белый шум≫ более адекватен теории бро-уновского движения Эйнштейна -Смолуховского, нежели традиционный белый шум [9, 10].) Первоначально ≪белый шум≫ использовался в теории оптимальных измерений [12, 13], где 90Вестник ЮУрГУ. Серия ≪Математическое моделирование и программирование≫

Exponential Dichotomies in Barenblatt-Zheltov-Kochina Model in Spaces of Differential Forms with "Noise''

“…Spaces C l L 2 are called the spaces of differentiable "noises". Let I = {0} ∪ R + , then a well-known example [3,5] of a vector of space C l L 2 is given by a stochastic process that describes the Brownian motion in Einstein-Smoluchowski model…”

“…in suitable function spaces U and F. Paper [2] considers splitting of similar spaces and splitting of the action of elliptic operators in spaces of smooth differential forms defined on smooth Riemannian manifolds without boundary. Further, paper [3] considers stochastic equations of Sobolev type…”

“…where η = η(t) is a stochastic process, o η is the Nelson-Gliklikh derivative of process [4], w = w(t) is a stochastic process that corresponds to an external influence; L, M, N ∈ L(U; F) are operators, and operator M is (L, p)-bounded, p ∈ {0} ∪ N. Paper [5] shows the results of studying equation (3) in the case when operator M is (L, p)-sectorial, p ∈ {0} N. Then, paper [6] considers equation (3) in the case when operator M is (L, p)radial, p ∈ {0} N. Note that all three papers [3,5,6] along with classical Cauchy problem η(0) = η 0 (4) consider Showalter-Sidorov problem P (η(0) − η 0 ) = 0.…”

“…The stochastic Barenblatt-Zheltov-Kochina model with additive "white noise" given in a bounded domain is considered as a concrete interpretation of abstract stochastic equation 3in [3] and is transferred to a Riemannian manifold without boundary in [9]. Paper [10] was the first to consider the dichotomies of solutions to abstract homogeneous Sobolev type equation…”

Degenerate Flows of Solving Operators for Nonstationary Sobolev Type Equations

“…[5]), на основе которых было предложено задачу восстановления динами-чески искаженного сигнала [10, 11] рассматривать как задачу оптимального измерения [12, 13]. Более того, стационарные уравнения соболевского типа начали рассматриваться в квазибанахо-вых пространствах [14][15][16], а также в пространствах «шумов» [17, 18]. Отметим, также, что осно-вой исследования уравнений соболевского типа стал метод фазового пространства [6, 19].…”