Es wird die Bewegung eines materiellen Teflchens im homogenen Gravitations~eld nach der relativistischen Wellenmechanik berechnet. Die richtige Energiegleichung (7), (7') ist ziemlich kompliziert. Fiir sehwaches Gravitationsfeld und grol~e Gesehwindigkeit (wie bei nicht zu rasch sieh bewegendem Elektron) gilt die Energiegleiehung der tdassischen Mechanik unter Gleichsetsung der Korpuskulargeschwindigkeit mit der Gruppengeschwindigkeit der Phasenwelle. Eine gengherte Rechnung gibt (8') und (9).Wit haben in einer anderen Arbeit das Keplerproblem flit die ftinfdimension~le Wellengleichung yon Klein betrachtet, wo die Heranziehung des Gravitationsfeldes zu einer Abweichung yon der Balmerformel ffihrte. Es wird vielleieht nicht ganz olme Interesse sein, das noch viel einfaehere Problem der Bewegung eines materiellen Teilchens im homogenen Gravit~ti0nsfeld yore wellenmechanischen Standpunkt aus Zu betraehten. Die de Brogliesche Welle* eines solehen Teilchens wird gegeben ~ durch die folgen4e nattirliche Verallgemeinerung im niehteuklidischen Raume der Gleichung yon S c hr 5 di n get : g tr/Ox'J = h~ m~c2u (r= 1,2,3,4).(1) Es sei ein (quasi-)homogenes Gravitationsfeld gegeben, worin d~s Linienelement
ds ~ = o ~ 1H--~x dt t dy ~-dz ~
1. Bekanntlich hat Klein* die Wellengleiehung yon SehrSdinger in eine relativistische Form eingekleidet und dadurch einen Zusammenhang der Wellenmechanik mit der allgemeinen Relativit~tstheorie zu begriinden versucht. Dabei hat sieh gezeigt, da~ die fiinfdimensionale Geometrie yon Kaluza**, die die Gravitations-nnd elektrom~gnetischen Erscheinungen in einer einheitlichen Theorie vereinigt, ftir die Darstellung der neuen Welleameehanik sehr geeignet ist. Die Identifizierung der allgemeinen Formel mit der S c h r 5 din g e r sehen Gleichung geschieht da durch, dal3 die erste beim verschwindenden Gravitationsfel4 in die zweite iibergeht. Der Einflul~ des Schwerefeldes in der allgemeinen Formel auf das Atomgebilde ist unserer Kenntnis nach bisher nieht untersueht worden. Wir wollen in dieser Arbeit das Gravitationsfel4 mitrechnen un4 die Reehnung fiir den einfaehsten Fall des Keplerproblems durehfiihren. Es kann eine kleine Modifikation der Balmefformel, in der die Rotverschiebung der Linien zum Ausdruek kommt, erwarte~ werden. Die Reehnung des Eigenwertproblems l~l~t sich streng durehftihren zu dem Sehlul~, dal~, w~hrend das kontinuierliehe Spektrum noch existiert, die Balmersehe Formel ftir diskrete negative Energiewerte ira allgemeinen verlorengeht. Es fehlt erstens bei der negativen Energie eine diskrete Schax der LSsungen, welche die nattirlichen l~andbedingungen befriedigen. Wean aber zuf~llig eine solche LSsung existiert, liegt die entsprechende kleine ~mderung des Energiewertes nieht in der ~ichtung der ]~otversehiebung.
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