1.Es bezeichne % ( E ) bzw. Gm ( E ) die Menge aller linearen stetigen bzw.vollstetigen Operatoren eines (komplexen) BANACH-Raumes E. Wir betrachten in dieser Arbeit operatorwertige Funktionen A (p), die in einer Umgebung des Nullpunktes der komplexen p-Ebene definiert und dort, analytisch sind. Es gibt also eine positive Zahl R 5 00 und eine Operatoren-losbar ist, d. h., wenn die Zahl 1 ein Eigenwert des Operators A ( p u , ) ist. Urn gewisse fur operatorwertige Polynome bekannte Spektralaussagen auch fur den Fall dieser allgemeineren Parameterabhangigkeit zu beweisen, ist es vorteilhaft, den Zusammenhang zwischen den charakteristisehen Zahlen von A ( p ) und denen der n-ten Partialsummen dieser Reihe zu kenrien (vgl. z. B. [4]). I n dieser Note sol1 bewiesen werden, da13 sich im Palle A . = 01) A, Gm ( E ) (k = 1, 2, . ~ .) die charakteristischen Zahlen von A ( p ) als Limites von charakteristischen Zahlen der Scharen A (12, p ) = p A , + p'A2 + . . . + pTLAgZ darstellen lassen. ]Vie sich zeigen wird, ist eine von P. H. MULLER [5] zu einem einfachen Beweis einer Spektralaussage von ATKINSON [I] und SZ.-NAGY [6] verwendete Linearisierungsmethode auch hier nutzlich. i) Man sirht leicht, dal3 es geniigt, nur die stetige Invertierbarkeit von I-& vorauszusetzcn.
1.Es bezeichne 8 einen reellen separablen HILBERTraum rnit dem Skalarprodukt (f, g) (f, g E 8 ) . Das auf einem Wahrscheinlichkeitsraum iiber der Grundmenge 9 definierte zufallige Element X mit Werten aus 6 heil3e normalverteilt mit der mathematischen Erwartung 0, wenn fur jedes fnuklear ( [ 2 ] , Teil 111, Q 8) rnit der Spur E 11 X 112. Gegenstand dieser Note ist der Beweis des folgenden Satzes. Satz. Es seien X ein normalverteiltes zufalliges Element von 8 rnit der rnathematischen Erwartung o und dem Korrelationsoperator R, A ein beliebiger stetiger selbstadjungierter Operator in Q, Aj, j = 1, 2, . . . , N (I li I 2 I A2 1 2 . . .; N 5 00) die von Null verschiedenen Eigenwerte des Operators A R I ) , wobei jeder Eigenwert so oft gezahlt werde, wie seine algebraische Vielfachheit angibt, und (qj) eine Folge identisch N (0, 1)-verteilter und in ihrer Gesamtheit unabhangiger Zufallsgroben. Dann haben die Zufallsgroben ( A X , X ) und Aj r$ das gleiche, und zwar durch die charakteristische Punktion= 1 beschriebene Verteilungsgesetz. Dieser Satz wurde bereits in [3] (vgl. auch [I]) formuliert; der von I. A. IBRA-GIMOW in [3] gegebene Beweis erscheint uns verhaltnismal3ig kompliziert, verwendet dabei tieferliegende Resultate von B. A. SEWASTJANOW [a] und benutzt noch zusatzlich die Vollstetigkeit von A . Ein einfacher und direkter Beweis ist 1) Mit R ist auch A R nuklear, also insbesondere vollstetig. Die Eigenwerte von A R sind bekanntlich reell.
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