Zu einem Satz über Verteilungen quadratischer Formen in HILBERTräumen

Abstract

1.Es bezeichne 8 einen reellen separablen HILBERTraum rnit dem Skalarprodukt (f, g) (f, g E 8 ) . Das auf einem Wahrscheinlichkeitsraum iiber der Grundmenge 9 definierte zufallige Element X mit Werten aus 6 heil3e normalverteilt mit der mathematischen Erwartung 0, wenn fur jedes fnuklear ( [ 2 ] , Teil 111, Q 8) rnit der Spur E 11 X 112. Gegenstand dieser Note ist der Beweis des folgenden Satzes. Satz. Es seien X ein normalverteiltes zufalliges Element von 8 rnit der rnathematischen Erwartung o und dem Korrelationsoperator R, A ein beliebiger stetiger selbstadjungierter Operator in Q, Aj, j = 1, 2, . . . , N (I li I 2 I A2 1 2 . . .; N 5 00) die von Null verschiedenen Eigenwerte des Operators A R I ) , wobei jeder Eigenwert so oft gezahlt werde, wie seine algebraische Vielfachheit angibt, und (qj) eine Folge identisch N (0, 1)-verteilter und in ihrer Gesamtheit unabhangiger Zufallsgroben. Dann haben die Zufallsgroben ( A X , X ) und Aj r$ das gleiche, und zwar durch die charakteristische Punktion= 1 beschriebene Verteilungsgesetz. Dieser Satz wurde bereits in [3] (vgl. auch [I]) formuliert; der von I. A. IBRA-GIMOW in [3] gegebene Beweis erscheint uns verhaltnismal3ig kompliziert, verwendet dabei tieferliegende Resultate von B. A. SEWASTJANOW [a] und benutzt noch zusatzlich die Vollstetigkeit von A . Ein einfacher und direkter Beweis ist 1) Mit R ist auch A R nuklear, also insbesondere vollstetig. Die Eigenwerte von A R sind bekanntlich reell.