Ein Störungssatz für Scharen vollstetiger Operatoren

Abstract

1.Es bezeichne % ( E ) bzw. Gm ( E ) die Menge aller linearen stetigen bzw.vollstetigen Operatoren eines (komplexen) BANACH-Raumes E. Wir betrachten in dieser Arbeit operatorwertige Funktionen A (p), die in einer Umgebung des Nullpunktes der komplexen p-Ebene definiert und dort, analytisch sind. Es gibt also eine positive Zahl R 5 00 und eine Operatoren-losbar ist, d. h., wenn die Zahl 1 ein Eigenwert des Operators A ( p u , ) ist. Urn gewisse fur operatorwertige Polynome bekannte Spektralaussagen auch fur den Fall dieser allgemeineren Parameterabhangigkeit zu beweisen, ist es vorteilhaft, den Zusammenhang zwischen den charakteristisehen Zahlen von A ( p ) und denen der n-ten Partialsummen dieser Reihe zu kenrien (vgl. z. B. [4]). I n dieser Note sol1 bewiesen werden, da13 sich im Palle A . = 01) A, Gm ( E ) (k = 1, 2, . ~ .) die charakteristischen Zahlen von A ( p ) als Limites von charakteristischen Zahlen der Scharen A (12, p ) = p A , + p'A2 + . . . + pTLAgZ darstellen lassen. ]Vie sich zeigen wird, ist eine von P. H. MULLER [5] zu einem einfachen Beweis einer Spektralaussage von ATKINSON [I] und SZ.-NAGY [6] verwendete Linearisierungsmethode auch hier nutzlich. i) Man sirht leicht, dal3 es geniigt, nur die stetige Invertierbarkeit von I-& vorauszusetzcn.

Transfer functions and operator theory

“…An old trick in the theory of analytic operator functions is to make a reduction to a linear pencil of the form XS-T or rather XI-T. One approach is modelled after the well-known method of changing a higher order differential equation into a system of first order equations by adding new variables. It has been used to study operator polynomials and even operator power series (see [791,[951,[43], [89]). A second, more sophisticated, approach involves 'linearization by extension' (see [55]).…”

“…Literature: [9], [10], [14], [27], [40], [43], [55], [62], [90 ], [91 ], [94], [95], [97]. 79 88 , (89] Further reading: [3], [11], [12], [16], [ [18] and [24]. The presence of e -itA P…”