Given a surface in the Euclidean 3-space with constant negative Gaussian curvature, the composition of Bäcklund transformations generates a 4-parameter family of surfaces with the same curvature. Since Ribaucour transformations of such a surface also provides a 4-parameter family of surfaces of the same type, one has the following natural question. Are these two methods equivalent? The answer is negative in general. Necessary and sufficient conditions for the surfaces given by the two procedures to be congruent are obtained. An explicit example is given of a composition of Bäcklund transformations which is not a Ribaucour transformation. The analytic interpretation of this result provides a method of producing solutions of the sine-Gordon equation, distinct from those obtained by Bäcklund transformations. New exact solutions are given and some of the corresponding surfaces are visualized.
We consider Bäcklund transformations for hyperbolic linear Weingarten surfaces in Euclidean 3-space. The composition of these transformations is obtained in the Permutability Theorem that generates a 4-parameter family of surfaces of the same type. Since a Ribaucour transformation of a hyperbolic linear Weingarten surface also gives a 4-parameter family of such surfaces, one has the following natural question. Are these two methods equivalent, as it occurs with surfaces of constant positive Gaussian curvature or constant mean curvature? By obtaining necessary and sucient conditions for the surfaces given by the two procedures to be congruent.The analytic interpretation of the geometric results is given in terms of solutions of the sine-Gordon equation.
O trabalho tem como objetivo central o estudo das curvaturas em superfícies regulares. Para atingir este objetivo, foi necessário a realização de uma revisão bibliográfica detalhada de conteúdos de Geometria Diferencial essenciais para a compreensão e estudo dos conceitos de curvatura, sendo esses: Superfícies Regulares, Superfícies Parametrizadas Regulares, Plano Tangente, Primeira Forma Fundamental, Segunda Forma Fundamental e Aplicação Normal de Gauss.
O trabalho tem como objetivo central o estudo detalhado de questões métricas em uma superfície regular, ou seja, o cálculo de comprimento de curvas em uma superfície, ângulos entre curvas que se interceptam e a área de uma região de uma superfície.
Neste trabalho, apresentamos algumas produções oriundas de um minicurso realizado em um evento direcionado a licenciandos e professores de matemática da Educação Básica. Destarte que, apenas estudantes realizaram inscrição nesta atividade. A proposta do minicurso constituiu-se a partir de um estudo do trânsito entre as diferentes representações vetoriais nos domínios numérico, algébrico e geométrico, subsidiado pelo software GeoGebra, com o intuito de apontar caminhos para a instauração de pressupostos do emergente Paradigma de Questionamento do Mundo, cujos pilares se assentam no despertar de uma visão prospectiva que se opõe ao Paradigma de Visitação de Obras. Nesta perspectiva, tomamos como aporte teórico a Teoria Antropológica do Didático – TAD, a qual possui um dos fundamentos centrado nas análises das atividades didáticas matemáticas em torno de uma modelação praxeológica pontual, por meio da interação entre os blocos prático e teórico. As atividades foram planejadas e desenvolvidas contemplando-se tarefas que geralmente são tratadas em aulas ou avaliações sobre a teoria de vetores no plano, objetivando-se apontar direções para integrar o software às aulas que abordam a álgebra vetorial. Em termos de resultados, identificamos que os participantes abandonaram a postura estática e coadjuvante imposta no modelo tradicional de ensino e assumiram um papel protagonista nas atividades desenvolvidas, tanto no ambiente “papel lápis” quanto no âmbito virtual, contribuindo, desta forma, com a formação de futuros professores de matemática que questionem e não apenas visitem obras.
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