Эволюционные Системы Со Связями В Виде Условий Нулевой Дивергенции

Abstract

Изучаются эволюционные системы уравнений в частных производных при наличии согласованных связей в виде системы уравнений неразрывности. По-казано, что всякая такая система наряду с возможными законами сохранения стандартной степени, равной числу пространственных переменных, обладает и законами сохранения низшей степени, на единицу меньшей числа простран-ственных переменных. Предварительно дано полное описание законов сохра-нения и симметрий системы уравнений неразрывности. В качестве примера вычислены законы сохранения второй степени классической системы уравне-ний Максвелла (здесь число пространственных переменных равно трем).Ключевые слова: эволюционные системы, связи, уравнения неразрывности, законы сохранения, законы сохранения низшей степени. ВВЕДЕНИЕИзвестно, что эволюционные системы вида(1.1) где x ∈ R m -пространственные переменные, u ∈ R N -зависимые переменные, u x -все частные производные первого порядка по x, u xx -все частные производные вто-рого порядка по x и т. д., могут обладать законами сохранения лишь степени m (при их записи в виде дифференциальных форм, замкнутых на решениях). В предлагае-мой работе изучаются эволюционные системы вида (1.1) при наличии согласованных связей в виде системы уравнений неразрывностиЗдесь N = sm; зависимые переменные u ∈ R sm маркируются двойным индексом σµ. Показано, что в этом случае объединенная система (1.1), (1.2) всегда обладает за-конами сохранения низшей степени m − 1, причем базисные законы сохранения * Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Москва, Россия.

Lie-Poisson structures over differential algebras

“…Заметим, что приложения нашей конструкции не ограничиваются эволюционными системами уравнений в частных производных. В частности, эта техника может найти приложения в исследованиях из работ [6]- [16] и т. д.…”

Законы Сохранения, Дифференциальные Тождества И Связи Уравнений В Частных Производных

“…В алгебраическом подходе (см. [1], [8], [12], [13]) система уравнений в частных производных записывается в виде F = 0, где…”

Эволюционные Системы На Решетке

“…Симметрии. Согласно общим принципам алгебро-геометрического подхо-да (группового анализа) [1], [3], [5], [6] (инфинитезимальные) симметрии данной эволюционной системы ∂ t u = f суть эволюционные дифференцирования, коммути-рующие с оператором полной эволюции Ev f . Подробнее, функция g ∈ F задает симметрию эволюционной системы ∂ t u = f , если коммутатор [Ev f , ev g ] = 0.…”

“…В настоящей работе результаты, полученные ранее [1] для эволюционных систем на евклидовом пространстве, переносятся на эволюционные системы на многомер-ной целочисленной решетке. С этой целью основные принципы алгебро-геометриче-ского (иначе, группового) анализа уравнений в частных производных (см., напри-мер, [2]- [6]) адаптируются к дискретной ситуации.…”