О Росте Целых Функций С Дискретно Измеримыми Нулями

Abstract

В работе получено решение задачи о наименьшем типе при порядке ∈ (0; 1) целых функций с положительными нулями в специальном классе, выделяемом условиями на верхнюю и нижнюю усредненные-плотности нулей. Библиография: 20 названий. Введение. В подавляющем числе работ, так или иначе использующих теорию целых функций одной переменной, встречаются функции с "правильным" поведением. В основном, это функции вполне регулярного роста, начало изучению которых было положено в середине прошлого века А. Пфлюгером и Левиным (см., например, [1]). Выяснилось, что регулярность роста целой функции равносильна существованию определенного рода плотности ее нулей. Изучение связи между асимптотическими характеристиками роста целой функции и особенностями распределения ее нулей на плоскости составляет важную ветвь комплексного анализа, интенсивное развитие которой продолжается и в наши дни. Необходимо, однако, отметить, что ряд естественных задач, возникающих в теории аппроксимации, аналитического продолжения, теории операторов и других вопросах, содержательны в случае отсутствия "асимптотически правильного" поведения появляющихся в ходе исследования целых функций. Решение именно таких задач сопряжено с экстремальными проблемами в различных классах целых функций, определяемых ограничениями как на рост, так и на расположение нулей. Экстремальным задачам для характеристик роста целых функций (индикаторов и типов при обычном и уточненном порядках) посвящена обширная литература. В цикле работ Гольдберга (см., к примеру, [2], [3]) с помощью введенного им понятия интеграла по полуаддитивной мере были найдены диапазоны изменения верхнего и нижнего индикаторов целой функции при уточненном порядке с заданными границами изменения верхней и нижней угловых плотностей ее нулей. В статьях Кондратюка [4]-[6] результаты Гольдберга обобщались на случаи других типов плотностей. Несколько специальных экстремальных задач было решено во второй половине прошлого века Левиным [1; гл. V, § 5], Говоровым [7], Андрашко [8], Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 09-01-00225а). Работа второго автора выполнена также при поддержке проекта аналитической ведомственной целевой программы (АВЦП) "Развитие научного потенциала высшей школы"

On the Least Type of Entire Functions of Order ρ ∈ (0, 1) with Positive Zeros

“…Статья выполнена в рамках исследования экстремальных задач для целых функций с нулями на луче, начатого в работах [1, 2] и продолженного в [3][4][5][6][7][8]. В работе изучаются целые функции, все нули которых расположены на фиксированном луче и имеют заданные верхнюю плотность и шаг при показателе ρ ∈ (0, 1).…”

Наименьший тип целой функции порядка $\rho\in(0,1)$ с положительными корнями заданных усредненных плотностей

“…Как показано в [3], знаки равенств в этих соотношениях одновременно достигаются для дискретно измеримых последовательностей.…”

“…Рассмотрим теперь случай неизмеримой последовательности Λ. При доказа-тельстве формулы (1.8) будем опираться на лемму 1 и на следующее равенство, полученное в [3]:…”

“…Таким образом, построенная в работе [3] экстремальная функция в задаче о вы-числении величины s(α * , β * , ρ) является экстремальной и в задаче о нахожде-нии s * (α * , β * , ρ), что вместе с (2.7) приводит к соотношению (1.…”

“…Предложенный в ста-тье подход связан с решением более общей экстремальной задачи, в которой учитываются и верхняя, и нижняя усредненные ρ-плотности нулей. Работа является непосредственным продолжением исследований, начатых в [1]- [3].…”