Гамильтонианы, Ассоциированные С Третьим И Пятым Уравнениями Пенлеве

Abstract

ГАМИЛЬТОНИАНЫ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С ТРЕТЬИМ И ПЯТЫМ УРАВНЕНИЯМИ ПЕНЛЕВЕПолучено дифференциальное уравнение типа Пенлеве для простейшего ра-ционального гамильтониана, ассоциированного с пятым уравнением Пенлеве в случае γ ̸ = 0, δ = 0. Доказано существование ассоциированных с пятым урав-нением Пенлеве в случае γ ̸ = 0, δ = 0 гамильтонианов нерационального типа. Получено обобщение формул Гарнье и Окамото рациональных гамильтонианов, ассоциированных с третьим уравнением Пенлеве.Ключевые слова: третье уравнение Пенлеве, пятое уравнение Пенлеве, гамильтониан. ВВЕДЕНИЕВ последние три десятилетия наблюдается заметный рост интереса к исследо-ванию определенных классов непрерывных и дискретных вероятностных моделей, известных под названием "модели случайно-матричного типа". Источники таких моделей весьма разнообразны [1].Одной из наиболее важных характеристик указанных моделей является нуль-ве-роятность -вероятность отсутствия частиц в заданном интервале или объединении интервалов.Нуль-вероятности, как правило, могут быть представлены в виде определителей Фредгольма det(1 − K) J , где K есть некоторый интегральный оператор, а J -множество, где не должно быть частиц. Ядро оператора K обычно имеет видс подходящими функциями ψ, A, B. Единственный известный на настоящий мо-мент способ вычисления таких определителей Фредгольма состоит в их характери-зации как решений некоторого обыкновенного дифференциального уравнения или системы уравнений с частными производными. В работе [2] решена задача о выводе дифференциального уравнения для нуль-вероятностей в случае синус-ядра, которое имеет вид (1) с ψ(x) = 1/x, A(x) = sin x, B(x) = cos x, и показано, что значение опре-делителя Фредгольма единичного оператора минус синус-ядро, суженое на интервал * Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники, Минск, Беларусь.

Properties of solutions of two second-order differential equations with the Painlevé property

“…Факт существования разнообразия гамильтонианов (полиномиальных, рациональных и других) установлен в [15] (см. также [16], [17]). Как уже отмечалось, уравнения Пенлеве содержательным образом возникают в различных приложениях.…”