Аппроксимации Паде Функций Миттаг-Леффлера

Abstract

Установлено, что для функций Миттаг-Леффлера Fγ при m n и n → ∞ аппроксимации Паде {πn,m( · ; Fγ)}, которые являются локально наилучшими рациональными аппроксимациями, приближают Fγ равно-мерно на компакте D = {z : |z| 1} со скоростью, асимптотически равной наилучшей. В частности, для функций Миттаг-Леффлера доказаны ана-логи хорошо известных теорем Д. Браесса и Л. Трефезена, относящихся к аппроксимации функции exp z.Библиография: 28 названий. § 1. Введение имеющие максимально возможный порядок касания к ряду (1) в классе ра-циональных функций степени не выше (n, m). Для функции F γ будем также рассматривать ее таблицу Чебышёва r * n,m ( · ; F γ ), состоящую из рацио-нальных функций вида (2), наилучшим образом приближающих F γ в равно-мерной норме и определяющихся (вообще говоря, не единственным образом) из равенства R n,m (F γ ; D) = inf F γ − r : r ∈ R n,m = F γ − r * n,m ,

Об Асимптотике Строк Таблицы Паде Аналитических Функций С Логарифмическими Точками Ветвления

“…К настоящему времени имеется уже достаточно много примеров целых функций f , для которых исследована сходимость аппроксимаций Паде и, в частности, найдена асимптотика убывания f (z) − π n,m (z; f ) для z ∈ D при фиксированном m и n → ∞ (см. [2]- [15]).…”

“…Тогда, применяя к функции ϕ лемму 4, получим R n,m (f ; D q ) = ∥f − r * n,m ∥ = ∥f − π n,m − (r * n,m − π n,m )∥ = ∥ϕ − r n+m,2m ∥ R n+m,2m (ϕ; D q ) min |z|=q |ϕ(z)|.Неравенство (15) доказано. Из(15), а также из равенств (11), (12) и неравенства(7)следует(14). Следствие 4 доказано.Аналогично доказываетсяСледствие 5.…”