Zur Reziprozit�t quadratischer Charaktersummen in algebraischen Zahlk�rpern

Barner, Klaus

doi:10.1007/bf01300643

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The Central Problem1

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1978

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“…For characters x and \p (mod/? ), the Jacobi sum /(x, \p) is defined by '(**)-2x00*0-«)• (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) n For brevity, set J(x) = Ax> x)-Jacobi sums are related to Gauss sums by the basic formula [80, p. 92] 9 (1.9) where x^ is nonprincipal. By the definition (1.8), J(x) lies in Q(e 2 " i/k ).…”

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The determination of Gauss sums

Berndt¹,

Evans²

1981

Bull. Amer. Math. Soc.

167

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“…The sums of orders 5,6,8,12,16, and 24 are briefly discussed in § §5-9. At present, little is known about the evaluations of Gauss sums of other orders.…”

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The determination of Gauss sums

Berndt¹,

Evans²

1981

Bull. Amer. Math. Soc.

167

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Über den Satz von Weil-Cartier

Reiter

1978

Monatsh Math

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On the WeB-Cartier Theorem. It is shown that the theorem of WEIL-C~TIER ([10, Th. 5], [4, Th. 3]) is connected with a homomorphism of groups of unitary operators. The existence proof for this homomorphism is b~sed on simple results in harmonic analysis and on an extension property of the Schwartz-Bruhat functions. Some applications are given, including a result of IousA's [6, Th. 3] and the reciprocity formula of KRAZER-SIEGEL [9, Th. 2]. An outline of the proof has been given in [8]. A. W~IL hat in [10] die Charaktere 2. Grades auf lokalkompakten, Abelschen Gruppen eingeffihrt 1. Er hat bewiesen, dal~ ein nichtausgearteter Charakter 2. Grades ~v einer fundamentalen Relation geniigt, in der eine komplexe Konstante y(~v) vom Absohtbetrag 1 atfftritt (Verallgemeinerung der Gaul3sehen Summen). Uber den Wert yon 7(~) hat W~IL einen Satz bewiesen [10, Th. 5], der dann yon CARTIE~ verallgemeinert wurde [4]; CA~TIE~ hat a. a. O. auch einen neuen Beweis ftir die eingangs erw/~hnte Grundrelation gegeben. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, dab der Satz yon Weil-Cartier eng mit einem Homomorphismus yon gewissen Gruppen unit/~rer Operatoren zusammenh~ngt (es sind dies Untergruppen derjenigen Gruppen, die WE~ in [10] eingeftihrt hat); aueh ein Satz yon IousA [6, Th. 3J und die Reziprozit/~tsformel yon I~AZER-SIEGEL [9, Satz 2] ordnen sieh in diesen Zusammenhang ein. Der Beweis fiir die Existenz des Homomorphismus stiitzt sich u.a. atff einfaehe Ergebnisse aus der harmonischen Analyse und eine Fortsetzungseigensehaft der Schwartz-Bruhat-Funktionen; er steht in enger Beziehung zu den Ausffihrungen fiber die Poissonsehe Formel in [7, p. 120f.] und zum Prinzip der Relativierung [7, oo26--9:55/78/oos6/oo13/$ o.oo

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Zur Reziprozit�t quadratischer Charaktersummen in algebraischen Zahlk�rpern

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