Using dynamic geometry to expand mathematics teachers’ understanding of proof

Abstract

This paper gives a broad descriptive account of some activities that the author has designed using Sketchpad to develop teachers' understanding of other functions of proof than just the traditional function of 'verification'. These other functions of proof illustrated here are those of explanation, discovery and systematization (in the context of defining and classifying some quadrilaterals). A solid theoretical rationale is provided for dealing with these other functions in teaching by analysing actual mathematical practice where verification is not always the most important function. The activities are designed according to the so-called 'reconstructive' approach, and are structured more or less in accordance with the Van Hiele theory of learning geometry.

Definición de altura de triángulo: ampliando el espacio de ejemplos con el entorno de geometría dinámical

“…Frente al papel de los ambientes de geometría dinámica, de Villiers (1998Villiers ( , 2004 argumenta que para realizar la construcción de una figura geométrica, los estudiantes sacan a la luz aquellos elementos o características que consideran como parte de la definición. Furinghetti y Paola (2002) consideran el problema de la consistencia de cierta definición con las construcciones hechas usando el software Cabri y emplean este ambiente para que los estudiantes evalúen si es apropiada la definición que están usando.…”

“…Suele ocurrir, en geometría, que lo figural prime sobre lo conceptual y, por tanto, la imagen conceptual tienda a ser primordialmente figural. Esto puede explicar muchos errores en el razonamiento geométrico de los estudiantes (Mariotti y Fischbein, 1997;Fischbein,1993 Respecto a la tarea de definir, importante para el proceso de conceptualización, de Villiers (1994Villiers ( , 2004 destaca que en matemáticas existen dos procesos asociados a esta: uno descriptivo (a posteriori) y otro constructivo (a priori). Las definiciones descriptivas, resultado del primer proceso, se logran una vez que el individuo ha tenido experiencia, durante un periodo de tiempo, con las propiedades del objeto, y empieza a determinar, del conjunto de características, el subconjunto de aquellas a partir de las cuales las demás pueden ser verificadas o deducidas.…”

“…personal del estudiante, usando como marco la propuesta respecto a los referentes teóricos sobre las definiciones y sobre el proceso de definir (de Villiers,1998(de Villiers, , 2004Govender, 2002). Las categorías para el espacio de ejemplos se tomaron de la propuesta de Watson y Mason (2005), en particular con el espacio personal de ejemplos que es evocado con relación a las representaciones figurales o verbales.…”

The Development of Students Geometrical Thinking through Transformational Processes and Interaction Techniques in a Dynamic Geometry Environment

“…Fuys et al specified that to be "on a level" students had to consistently exhibit behaviours indicative of that level. The usual interpretation and general features of the first four levels, which are most pertinent to secondary school geometry, can be described as follows (De Villiers 2004;Gawlick 2005):…”

“…• LVAR helped the students form rigorous Euclidean proofs • The students were "starting to develop longer sequences of statements and beginning to understand the significance of deduction" (de Villiers, 2004). …”