Ultrafast shortest-path queries via transit nodes

Abstract

Die klassische Lösung zur Berechnung kürzester Wege ist die Anwendung des Dijkstra Algorithmus, der in O(m + n log m) Zeit selbigen findet, wobei m die Anzahl Kanten ist und n die Anzahl der Knoten. Für die Berechnung zwischen zwei beliebigen Knoten im US-Straßennetzwerk, bestehend aus ca. 24 Mio. Knoten und ca. 58 Mio. Kanten, dauert dies auf heutigen Rechnern mehr als eine Sekunde. Für viele Anwendungen ist dies zu langsam. Obwohl es noch eine offene Frage ist, ob Dijkstra [1] für solche Anfragen optimal ist, gibt es eine offensichtliche untere Schranke von Ω(m + n). Um schnellere, sublineare, Anfragezeiten zu erreichen, muß eine Vorverarbeitung stattfinden. Holger Bast et al. [2] stellten das Transitknoten-Konzept-ein allgemeines Konzept zur Auswahl einer Menge an Straßenknoten für eine Vorberechnung-vor, auf welches im Folgenden näher eingegangen wird. 2 Transitknoten Sei ein Straßennetzwerk G = (V , E) gegeben, wobei V die Menge der Straßen-Knoten und E die Menge der Straßenabschnitten ist. Das Ziel ist es kürzeste Distanzen vorauszuberechnen, so dass sich Anfragen d(s, t) nach kürzesten Distanzen zwischen zwei Knoten s und t mittels der gespeicherten Werte in sublinearer Zeit beantworten lassen. Allerdings kann man nicht einfach die kürzesten Distanzen zwischen allen Punktpaaren vorberechnen, da der Zeit-und Speicheraufwand für Graphen wie das US-Straßennetzwerk unverhältnismäßig hoch ist. Also braucht es ein Kriterium, nach dem die Punkte zur Vorberechnung ausgewählt werden. Bast et al. wählten die Menge der Transitknoten T als Menge der Punkte für die Vorberechnung. Diese basieren auf der Definition eines Lokalitätsfilters L : V × V → {wahr, falsch}, der für zwei gegebene Knoten entscheidet, ob diese so weit voneinander entfernt sind, dass der kürzeste Weg zwischen ihnenüber mindestens einen Transitknoten läuft. Die Menge der Transitknoten T hat die Eigenschaft, dass jeder kürzeste Weg zwischen zwei Knoten s, t mit ¬L(s, t)über mindestens einen Knoten aus T geht. Weiterhin definieren Sie die Menge der Zugangsknoten A : V → 2 T zu einem Knoten v als die zu v nächsten Transitknoten.

A Gradual Approach for Multimodel Journey Planning: A Case Study in Izmir, Turkey

“…They use arrays to organize timetable information or elementary timetable connections. Some studies perform precomputations to use precomputed data for table lookups in shortest-path queries [3][4][5], while others do not rely on preprocessing [7,8].…”

“…Algorithm maintains multiple labels per vertex to ensure minimum transfer counts. Transit node routing (TNR) is yet another technique that determines a small set of the transit nodes that every shortest path passes through at least one of these nodes [5]. Distances are precomputed from each node to its closest transit nodes (access nodes) to use for table lookups in shortest-path queries.…”

“…Nearby stops are computed using the Euclidean distance. TNR technique precomputes the connections from each potential origin or destination to its access transit nodes and between all pairs of transit nodes [5]. In Izmir, the main transportation lines are train, subway, and ferry.…”

“…A significant part of these studies stands on graph-based techniques, one of which is Dijkstra's algorithm [1]. Multilabel correcting (MLC) algorithm [2], transfer patterns [3], contraction hierarchies (CH) [4], transit node routing (TNR) [5], and trip-based public transit routing (TB) [6] can exemplify this category.…”

High-performance multi-level routing

“…However, graphs can be preprocessed at an off-line step so that subsequent on-line queries take only a fraction of the time used by Dijkstra's algorithm. One recent speed-up technique [1,22], which also relies on a preprocessing, yields for the European road network that we also use for our experiments a considerable average query time of 4 µs when travel times as edges weights are used, but of comparatively high 38 µs for travel distances.…”