When you drive to somewhere 'far away', you will leave your current location via one of only a few 'important' traffic junctions. Starting from this informal observation, we develop an algorithmic approach-transit node routingthat allows us to reduce quickest-path queries in road networks to a small number of table lookups. We present two implementations of this idea, one based on a simple grid data structure and one based on highway hierarchies. For the road map of the United States, our best query times improve over the best previously published figures by two orders of magnitude. Our results exhibit various trade-offs between average query time (6 µs to 63 µs), preprocessing time (62 min to 1200 min), and storage overhead (27 bytes/node to 247 bytes/node).
Die klassische Lösung zur Berechnung kürzester Wege ist die Anwendung des Dijkstra Algorithmus, der in O(m + n log m) Zeit selbigen findet, wobei m die Anzahl Kanten ist und n die Anzahl der Knoten. Für die Berechnung zwischen zwei beliebigen Knoten im US-Straßennetzwerk, bestehend aus ca. 24 Mio. Knoten und ca. 58 Mio. Kanten, dauert dies auf heutigen Rechnern mehr als eine Sekunde. Für viele Anwendungen ist dies zu langsam. Obwohl es noch eine offene Frage ist, ob Dijkstra [1] für solche Anfragen optimal ist, gibt es eine offensichtliche untere Schranke von Ω(m + n). Um schnellere, sublineare, Anfragezeiten zu erreichen, muß eine Vorverarbeitung stattfinden. Holger Bast et al. [2] stellten das Transitknoten-Konzept-ein allgemeines Konzept zur Auswahl einer Menge an Straßenknoten für eine Vorberechnung-vor, auf welches im Folgenden näher eingegangen wird. 2 Transitknoten Sei ein Straßennetzwerk G = (V , E) gegeben, wobei V die Menge der Straßen-Knoten und E die Menge der Straßenabschnitten ist. Das Ziel ist es kürzeste Distanzen vorauszuberechnen, so dass sich Anfragen d(s, t) nach kürzesten Distanzen zwischen zwei Knoten s und t mittels der gespeicherten Werte in sublinearer Zeit beantworten lassen. Allerdings kann man nicht einfach die kürzesten Distanzen zwischen allen Punktpaaren vorberechnen, da der Zeit-und Speicheraufwand für Graphen wie das US-Straßennetzwerk unverhältnismäßig hoch ist. Also braucht es ein Kriterium, nach dem die Punkte zur Vorberechnung ausgewählt werden. Bast et al. wählten die Menge der Transitknoten T als Menge der Punkte für die Vorberechnung. Diese basieren auf der Definition eines Lokalitätsfilters L : V × V → {wahr, falsch}, der für zwei gegebene Knoten entscheidet, ob diese so weit voneinander entfernt sind, dass der kürzeste Weg zwischen ihnenüber mindestens einen Transitknoten läuft. Die Menge der Transitknoten T hat die Eigenschaft, dass jeder kürzeste Weg zwischen zwei Knoten s, t mit ¬L(s, t)über mindestens einen Knoten aus T geht. Weiterhin definieren Sie die Menge der Zugangsknoten A : V → 2 T zu einem Knoten v als die zu v nächsten Transitknoten.
We demonstrate how Dijkstra's algorithm for shortest path queries can be accelerated by using precomputed shortest path distances. Our approach allows a completely flexible tradeoff between query time and space consumption for precomputed distances. In particular, sublinear space is sufficient to give the search a strong "sense of direction". We evaluate our approach experimentally using large, real-world road networks.
We present a 4-approximation algorithm for the problem of placing the fewest guards on a 1.5D terrain so that every point of the terrain is seen by at least one guard. This improves on the currently best approximation factor of 5 due to King (LATIN 2006, pages 629-640). Unlike previous techniques, our method is based on rounding the linear programming relaxation of the corresponding covering problem. Besides the simplicity of the analysis, which mainly relies on decomposing the constraint matrix of the LP into totally balanced matrices, our algorithm, unlike previous work, generalizes to the weighted and partial versions of the basic problem.
In the minimum-cost k-hop spanning tree (k-hop MST) problem, we are given a set S of n points in a metric space, a positive small integer k and a root point r ∈ S. We are interested in computing a rooted spanning tree of minimum cost such that the longest root-leaf path in the tree has at most k edges. We present a polynomial-time approximation scheme for the plane. Our algorithm is based on Arora's et al. [5] technique for the Euclidean k-median problem.
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