Über L₂‐Approximationssätze – eine Eigenschaft der Lösungen elliptischer Differentialgleichungen

Abstract

I n seiner Arbeit [I] bewies H. BECKERT unter Verwendung der Unitatssiitze fur das Anfangswertproblem elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung und des Zerlegungssatzes von RIESS in HILBERT-Riiumen fur das DmIcHLETsche Problem L, -Approximationssatze insbesondere folgenden Inhalts : Sei G ein (einfach zusammenhsngendes) Gebiet der Klasse B h mit dem Rand X im Rn (n > 1). Dann werde innerhalb G das DIRICHLETsche Problem fur die lineare elliptische Differentialgleichung zweiter Ordnung betrachtet :(1) P(u) = 0 . Es seien keine (auf dem Rande verschwindenden) Eigenlosungen vorhanden. Der Rand( 2 ) u(Q) = 0 f iir Q E S -UWir nehmen innerhalb C ein G nicht zerlegendes Flachenstiick r der Klasse A mit der Dimension 8 an, 1 5 s 5 n -1, und betrachten den HILBERT-Raum @r aller quadratintegrablen Funktionen iiber r. Durch stetige Abanderungen der Randwerte qi (&) kings U gemti6 (2) erhalten wir eine Menge von Liisungen der Gleichung (I! innerhalb a, die jetzt nur uber r betrachtet wird: ' 9 2~. Diese Linearmannigfaltigkeit '92r liegt dicht in @r; dies bedeutet -es ist moglich, eine langs r vcrgegebene Funktion aus @r durch geeignete Variation der Randwerte langs Lr mittels der dadurch entstehenden Menge von Losungen der vorgegebenen linearen elliptischen Differentialgleichung (die auch inhomogen sein kann) beliebig genau im quadratischen Mittel zu approximieren. Auf die physikalische Interpretation ist bereits in [i] hingewiesen worden. dhnliche Satze werden von H. BECKERT in [I] beziiglich der Approximation der ersten Ableitungen einer iiber r vorgelegten Funktion, beziiglich der Approximation einer vorgelegten Funktion durch die Normalableitungen liings r der Losungsfunktionen und auch beziiglich des ersten Randwertproblems fur die Plattengleichung bewiesen. A A u = O *) Fur das Thema dieser Arbeit und die Unterstutzung bei der Durchfuhrung habe ich Herrn Professor BECKERT sehr zu danken. (Die Kapitel I und I1 dieser Arbeit sind meiner 1962 von der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultiit dcr Karl-Marx-UnivcrsitB t angenommenen Dissertation entnommen.) I &Lath. S,ichr. 1965, Rd. 31, H.

Approximation mittels Linearkombinationen von Fundamentallösungen elliptischer Differentialoperatoren

“…Die vorliegenden Untersuchungen stehen in einem engen Zusammenhang zu den Approximationssatzen von BECKERT [2] sowie zu den Weiterentwicklungen von BEYER [3], G~P F E R T [8] In den meisten der erwahnten Arbeiten erfolgt die Approximation in L2(r) oder in C ( T ) (aul3er in [4], wo in SoBoLEv-Raumen approximiert wird). Die Beweise beruhen dabei wesentlich auf der Ausnutzung potentialtheoretischer Hilfsmittel (z.…”

“…Die Vorteile dieses Verfahrens zur Gewinnung von Naherungslosungen sind : 1. Die Niherungslosungen uI sind in 8 klassische Losungen der Differentialgleichung A2u = 0, und sie erfullen naherungsweise die Randbedingungen.…”

Über die Lösungen partieller Differentialgleichungen bei Variation der Anfangs‐ oder Randdaten

“…-2". Das Approximationsceihulten der Losungen gemaJ3 der Batze A , , A L Denn man hat den Beweis n n r analog A , zu fuhren und im Falle y = 0, = 0 eine zu (16) analoge Gleichung aus (15) durch Differentation nach [ trircl bereits erxielt, wenlz qj oclw y in der angegebenen Weise variieren.…”

Approximation by normal derivatives of fundamental solutions of elliptic differential operator systems

“…Beckert considered boundary-value problems for scalar differential operators of second order. The Beckert result has been developed further by Beyer [2], Gopfert [8], Hamann [9,11], Wildenhain [18], and Roitberg and Sheftel [16]; the latter generalized it for systems. In the papers of Browder [4,5], functions, given on a surface F, are approximated by normal derivatives of functions which are solutions of a scalar homogeneous elliptic equation in a fixed neighborhood of F.…”

“…In the case of a connected set R n \ F, Gopfert [8] described how the approximation assertions can be interpreted in the linear theory of elasticity (Lame equations). He showed that displacement and stress vectors given on a surface F can be approximated by influences on another surface K. _ In the present paper, we consider the case of a connected set R n \ F for the more general class of Douglis-Nirenberg-elliptic systems.…”