We extend the Arrow, Barankin and Blackwell (ABB) theorem for Henig efficient points for nonconvex sets in normed vector spaces. The novelty of our result is especially represented by the fact that we do not assume compactness of the set; in fact it can be an unbounded asymptotically compact set. Our result subsumes several generalizations of this important theorem.
I n seiner Arbeit [I] bewies H. BECKERT unter Verwendung der Unitatssiitze fur das Anfangswertproblem elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung und des Zerlegungssatzes von RIESS in HILBERT-Riiumen fur das DmIcHLETsche Problem L, -Approximationssatze insbesondere folgenden Inhalts : Sei G ein (einfach zusammenhsngendes) Gebiet der Klasse B h mit dem Rand X im Rn (n > 1). Dann werde innerhalb G das DIRICHLETsche Problem fur die lineare elliptische Differentialgleichung zweiter Ordnung betrachtet :(1) P(u) = 0 .
Es seien keine (auf dem Rande verschwindenden) Eigenlosungen vorhanden. Der Rand( 2 ) u(Q) = 0 f iir
Q E S -UWir nehmen innerhalb C ein G nicht zerlegendes Flachenstiick r der Klasse A mit der Dimension 8 an, 1 5 s 5 n -1, und betrachten den HILBERT-Raum @r aller quadratintegrablen Funktionen iiber r. Durch stetige Abanderungen der Randwerte qi (&) kings U gemti6 (2) erhalten wir eine Menge von Liisungen der Gleichung (I! innerhalb a, die jetzt nur uber r betrachtet wird: ' 9 2~. Diese Linearmannigfaltigkeit '92r liegt dicht in @r; dies bedeutet -es ist moglich, eine langs r vcrgegebene Funktion aus @r durch geeignete Variation der Randwerte langs Lr mittels der dadurch entstehenden Menge von Losungen der vorgegebenen linearen elliptischen Differentialgleichung (die auch inhomogen sein kann) beliebig genau im quadratischen Mittel zu approximieren. Auf die physikalische Interpretation ist bereits in [i] hingewiesen worden. dhnliche Satze werden von H. BECKERT in [I] beziiglich der Approximation der ersten Ableitungen einer iiber r vorgelegten Funktion, beziiglich der Approximation einer vorgelegten Funktion durch die Normalableitungen liings r der Losungsfunktionen und auch beziiglich des ersten Randwertproblems fur die Plattengleichung bewiesen. A A u = O *) Fur das Thema dieser Arbeit und die Unterstutzung bei der Durchfuhrung habe ich Herrn Professor BECKERT sehr zu danken. (Die Kapitel I und I1 dieser Arbeit sind meiner 1962 von der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultiit dcr Karl-Marx-UnivcrsitB t angenommenen Dissertation entnommen.) I &Lath. S,ichr. 1965, Rd. 31, H.
The aim of our paper is to generalize the maximal point theorem of Bishop and Phelps and to apply this result to derive a new multicriteria Ekeland's principle in a direct way by induction without making use of Ekeland's original scalar result.
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We derive a minimal point theorem for a subset A in a cone in product spaces under a weak assumption concerning the boundedness of the considered set A. Using this result we improve two vectorial variants of Ekeland's variational principle. Finally, a new characterization of well-based cones is given.
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