Über die Lösungen partieller Differentialgleichungen bei Variation der Anfangs‐ oder Randdaten

Abstract

Bei partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung F (uj = f ist die Fragestellung von Interesse, ob die durch Anfangs-oder Randdaten ausgesuchten Mengcn von Losungsf unktionen langs gewisser Tragerkurven T im EinfluSbereich der Daten die Eigenschaft haben, dort Iangs T vorgegebene Funktionswerte im quadratischen Mittcl approximieren zu konnen. Brtrachten wir zum Beispiel eine elliptische Differentialgleichung F (uj = 0 in einem beschrankten Gebiet G der Klasse Bh und das DIRICHLETschc Problem langs des Randes S . Der Rand wurde in zwei Teilmengen U und S -CJ zerlegt und die Randdaten langs S -G festgehalten, Iangs U in einer vorgeschriebenen Funktionenklassc variiert. Dann wird die Liisung des Problems iiberall in G von diesen Randwertanderungen beriihrt. Gibt man sicli nun cine ganz im Innern von G liegende Kurve r der Klasse Ah vor, offen oder geschlossen, d . h., G zerlegend oder nicht, w-obei das DlRICHLETsche Problem beziiglich F = 0 im zweiten Falle im Innern von G eindeutig losbar scin soll, so liegt die Mannigfaltigkeit der Losungen, die durch die Variation langs U dcr Randwerte entsteht, betrachtet iiber r, dicht im Raum L,(T) der auf T quadratintegrablen Funktionen. Also kann, etwa die Gleichung der festeingespanriten schningtnden Mcmbran A u + 1 u = 0 betreffend, von einem Randstuck aus jede gewiinschte Auslcnkung langs einer offenen Kurvr T (im quadratischen Mittelj erzeugt werden. Ebensolche Resultate erhalt man in der klassischpn Elastizitatstheorie [el. Weitreichende Ergebnissc zu diesem und ahnlichen Problemen wurden von P. E. BROWDER [4] und BECKERT [I, 21 erzielt. I n der vorliegenden Note nird cine solchc Fragestellung bei hypcrbolischen Gleichungen und dcr Glcichung vom grmischten Typ von BIZBDSE-L$WRENTTEFF im R2 untersucht :I. Bei Anfangswcrtproblemen linearer hyperbolischer Differentialgleicliungen werdeii die Bestimmtheitsgebiete der Losungcn durch die Anfangsdaten von den Cliarakteristikeii begrenzt. Sei etwa fur eine geniigend regulare hyperbolische Gleichung zneiter Ordnunp F ( u ) = 0 in 2 Dimensionen (z, t ) das Anfangswertproblem gestellt:fiir z mit: zo 5 z 5 x;, %U at wobci p und y gcwisscn Rcgularitatsklassen uher dicscm Interval1 3 angelloren, und aul3e.rhalb des Intcrvalls A, welches ganz in 3 liegt, identisch verschwinden. Dann sind der Einflul3bereich von A, der Bbhangigkeitsbereich von den Anfangsdaten im Punkte P desLGsungsgebictes und der Bestinimtheitsbereich der Losungcn in bekannter Weise in Figur 1 abzulesen. Dies ist prinzipiell bei allen Dimensionen richtig, man hat dann nur entsprechend charakterist,ische Hyperkegel zii zeichnen und die Kegularitatsvoraussetzungen der Koeffizienten der Gleichung und der Datcn unter Beachtung der Zahl der Dimensioncn a mrcichmd liocli zu \\-ahlcn. Piun bctrachten n-ir eine Variation der Anfangsdaten iiber A