Supersimetria, método variacional e potencial de Lennard-Jones (12,6)

Abstract

Neste artigoé feito uma revisão sobre o uso do formalismo da supersimetria em mecânica quântica aliado ao método variacional. Esta abordagem permite obter soluções numéricas dos autovalores de energia da equação de Schrödinger. Como exemplo, o potencial de 6)é estudado e determina-se autovalores para este potencial. Os resultados obtidos são comparados com os valores encontrados através de outros métodos aproximativos. Palavras-chave: mecânica quântica, supersimetria, método variacional, potencial de Lennard-Jones.In this work a review of the supersymmetric quantum mechanics formalism combined with the variational method is done. This approach is useful in order to obtain numerical values for the energy eigenvalues from Schrödinger equation. As an example, the energy eigenvalues from the Lennard-Jones (12,6) potential are determined and the results are compared with other ones obtained from different methods. Keywords: quantum mechanics, supersymmetry, variational method, Lennard-Jones potential. IntroduçãoO formalismo supersimétrico vem sendo amplamente utilizado no contexto da mecânica quântica [1-4], em particular, ele pode ser usado para solucionar a equação de Schrödinger. Neste sentido, a supersimetria pode ser entendida como uma generalização do método de fatorização [3][4]. Em problemas envolvendo potenciais exatamente solúveis as autofunções e autovalores podem ser determinados analiticamente através da superálgebra. Ela também pode serútil em abordagens aproximativas, como, por exemplo, o método variacional. Pela sua simplicidade alguns autores tem sugerido a inclusão deste formalismo em livros textos e cursos de mecânica quântica [5].Por outro lado, o método variacional (6) constitui um tratamento bastanteútil no estudo de sistemas em que os autovalores de energia não podem ser exatamente determinado. A escolha adequada de uma função de onda teste constitui ingrediente fundamental para a obtenção de bons resultados variacionais. Esta escolhaé um ponto delicado da aplicação do método. A respeito deste assunto L.I. Schiff em seu livro escreve [6]: Thus it is important to make use of any available information or physical intuition in choosing the trial function.A mecânica quântica supersimétrica fornece uma abordagem matemática clara, permitindo uma análise de problemas via método variacional melhor que o tratamento usual, focado no estudo direto das funções de onda. A nova abordagem sugeridaé baseada no uso do superpotencial e permite estudar o potencial efetivo que gera a função de onda teste, além da função de onda em si. A forma do potencial efetivo, comparada ao potencial original, fornece uma informação adicional sobre a aplicabilidade da função teste [7][8][9][10].Como exemplo da abordagem sugerida são determinados autovalores para o potencial de Lennard-Jones. Este potencialé muito utilizado em vários ramos da Física, como, por exemplo, física molecular [11] e estado sólido [12]. Como a equação de Schrödinger não pode ser resolvida analiticamente para este potencial, métodos aproximativos são fre...

Gases de átomos Fermiônicos aprisionados por uma rede quase periódica e um potencial harmônico bidimensional

“…Na tentativa de suprir em partes algumas das necessidades citadas acima como a falta de livros didáticos ou outros materiais pedagógicos, alguns trabalhos têm sido publicados na Revista Brasileira de Ensino de Física, enfatizando a utilização de métodos variacionais e método de Monte Carlo aplicado ao oscilador harmônico unidimensional [22], ou destacando o uso do formalismo de supersimetria em mecânica quântica aliado ao método variacional [23]. Artigos com o propósito de apresentar a aplicação dos métodos variacionais como solução das equações hidrodinâmicas de campo médio tridimensional e unidimensional, demonstraram que é possível a formação de gaps sólitons iluminados em um gás de bósons ou em um gás de férmions degenerados confinados por um potencial harmônico e uma rede óptica unidimensional [24].…”

Solução do átomo de hidrogênio usando Supersimetria

“…A abordagem tratada nesse texto se restringe a potenciais com soluções exatas/analíticas, embora extensões para outros sistemas através de métodos aproximativos podem ser utilizadas. Exemplos dessas abordagens são a aproximação WKB [7,8] e método variacional [4,[9][10][11][12].…”

Operadores-escada generalizados para sistemas quânticos

“…Em comparaçãoà resolução direta da equação de Schrödinger independente do tempo, este formalismo permite, por exemplo, uma simplificação dos cálculos e atacar outros tipos de problemas, como aqueles envolvendo potenciais parcialmente solúveis [3][4][5][6]. Assim, essa abordagem tem motivado muitos estudos e estendido a compreensão sobre diversos sistemas quânticos (vide, por exemplo, 11] e usando a chamada Shape Invariance do potencial [1,2,9,10,[12][13][14][15][16].…”

“…Assim, essa abordagem tem motivado muitos estudos e estendido a compreensão sobre diversos sistemas quânticos (vide, por exemplo, Ref. [3][4][5][6][7][8][9][10][11][12][13][14][15][16][17][18][19][20]). …”

“…Em especial, eleéútil para estudar potenciais exatamente solúveis [1][2][3][7][8][9][10][11][12][13][14][15][16] e parcialmente solúveis [1][2][3][4][5][6]18]. Em potenciais exatamente solúveis, o formalismo oferece duas vias de solução: através da Hierarquia de Hamiltonianos [1][2][3]7, * Endereço de correspondência: josimarfsilva@sjrp.unesp.br.…”