Operadores-escada generalizados para sistemas quânticos

Abstract

A superálgebra vem sendo aplicada na resolução de diversos problemas quânticos. Ela permite, por exemplo, obter soluções para potenciais exatamente solúveis e ampliar a construção de operadores de criação e destruição. Neste trabalho, o método de construção dos operadores-escada generalizadosé revisado e usado para obter os autovalores de energia e as autofunções de dois potenciais, a partícula em uma caixa unidimensional e o potencial de Rosen-Morse unidimensional. Palavras-chave: supersimetria; mecânica quântica; shape invariance; operadores-escada generalizados; partícula em uma caixa; potencial de Rosen-Morse.Supersymmetry has been applied to obtain the solution of several kinds of quantum problems. For example, it allows us to solve the Schrödinger equation and to introduce the creation and annihilation operators. In this work, the method to obtain the generalized ladder operators is revised and it is used to determine the energy eigenvalues and the eigenfunctions for two potentials, a particle in a box and the one-dimensional Rosen-Morse potential. Keywords: supersymmetry; quantum mechanics; shape invariance; ladder operators; particle in a box; RosenMorse potential. IntroduçãoEm estudos envolvendo sistemas descritos pela Mecânica Quântica, podemos fazer uso do formalismo da supersimetria para a resolução da equação de Schrödinger [1,2]. Em comparaçãoà resolução direta da equação de Schrödinger independente do tempo, este formalismo permite, por exemplo, uma simplificação dos cálculos e atacar outros tipos de problemas, como aqueles envolvendo potenciais parcialmente solúveis [3][4][5][6]. Assim, essa abordagem tem motivado muitos estudos e estendido a compreensão sobre diversos sistemas quânticos (vide, por exemplo, 11] e usando a chamada Shape Invariance do potencial [1,2,9,10,[12][13][14][15][16].Em potenciais para os quais nãoé possível determinar soluções analíticas exatas, a superálgebra aindaéútil como suporte nos métodos aproximativos, tais como perturbativo [1], aproximação WKB [13] e variacional [2,3,18]. Recentemente, a superálgebra tem sido empregada para auxiliar a solução da equação de Fokker-Planck [18,20] e para a obtenção de funções de onda teste (ansatz) para o estudo de interações intermoleculares [17,19].Problemas que envolvem sistemas quânticos em que os potenciais tratados são invariantes na sua forma funcional por transformações de supersimetria (shape invariant) podem ser resolvidos via superálgebra usando os operadores-escada generalizados [9,12] que atuam simultaneamente na coordenada espacial e no parâmetro da shape invariance.E oportuno lembrar que a construção de operadoresescada permite determinar estados coerentes [22][23][24][25] para os sistemas estudados. Em termos didáticos, os estados coerentes são discutidos na referência [26], enquanto a aplicação deste formalismo pode ser vista, por exemplo, nas referências [27] e [28]. Esses estados encontram aplicação em diferentes contextos, sendo particularmente importantes emóptica quântica [29,30].Neste trabalhoé feito uma revis...

Ladder Operators for the Spherical 3D Harmonic Oscillator

“…It would also be possible to take l 1 = −l 0 − 2 to fulfill the shape invariance condition in equation (31). However, this condition leads to a non-normalizable eigenfunction and it is discarded.…”

Solução do átomo de hidrogênio usando Supersimetria

“…Uma revisão recente do formalismo matemático utilizado nesse trabalho pode ser encontrado no artigo de Batael et all [28]. Entretanto, apresentamos os pontos principais da metodologia para tornar esse texto mais compreensível e didático.…”

“…O uso dos operadores-escada generalizados, equações (11) e (12), permite obter as autofunções e os autovalores de energia para os Hamiltonianos que possuem a propriedade de shape invariance. Isso é feito, em linhas gerais, usando as relações [4][5][6]28]:…”

“…A equação (52) possui um formato conveniente para a realização da fatorização e também é similar ao da equação de Schrödinger para um caso particular do potencial de Rosen-Morse unidimensional [39], que já foi estudado através do formalismo da MQS [28,40], possuindo solução exata. Observamos que nesta equação as autofunções são dadas por Θ(z) e o autovalor é −m 2 .…”

“…O superpotencial que satisfaz essa equação de Ricatti para esse problema é conhecido na literatura e é dado por [28]:…”