Some Historical Issues and Paradoxes Regarding the Concept of Infinity: An Apos Analysis: Part 2

Abstract

This is Part 2 of a two-part study of how APOS theory may be used to provide cognitive explanations of how students and mathematicians might think about the concept of infinity. We discuss infinite processes, describe how the mental mechanisms of interiorization and encapsulation can be used to conceive of an infinite process as a completed totality, explain the relationship between infinite processes and the objects that may result from them, and apply our analyses to certain mathematical issues related to infinity.

Sucesión de sumas parciales como proceso iterativo infinito: un paso hacia la comprensión de las series numéricas desde el modelo APOS

“…Sin embargo, para estos estudiantes el resultado de esta evaluación no alcanza dicho objeto por la concepción de límite inalcanzable que reiteradamente manifiestan: en su hoja de trabajo, S1D escribe con letras «tiende a 2» como respuesta a la suma de los infinitos sumandos. La literatura identifica esta concepción de infinito potencial como una concepción a nivel de proceso (Dubinsky et al, 2005), pero en el contexto de las series numéricas se puede considerar que esta acción va más allá de una concepción proceso porque el motivo para no alcanzar el objeto trascendente se debe solo a una concepción de límite inalcanzable que los estudiantes han construido en cursos anteriores (Codes, 2010).…”

“…Por un lado, conocer el valor de cada término de {a n } requiere a menudo (en el caso en que a n venga dado por un término general) destrezas algebraicas que no siempre se han adquirido para evaluar una expresión con números naturales (Herscovics, 1989). Por otro lado, el estudio del carácter de la sucesión a través del cálculo del límite conlleva también dificultades asociadas al cálculo algebraico, así como a la comprensión de lo que significa un límite en el infinito (Earles, 2000;Mamona-Downs, 2001;Monaghan, 1991;Monaghan, Sun y Tall, 1994;Roh, 2008;Tall y Vinner, 1981;Williams, 2001) y la concepción de infinito (Dubinsky, Weller, McDonald y Brown, 2005;Fischbein, Tirosh y Hess, 1979;Garbín y Azcárate, 2002;Weller, Brown, Dubinsky, McDonald y Stenger, 2004).…”

¿Cuán abundantes son los conjuntos de números? Estudiantes comparando infinitos

“…Podemos considerar que la idea de infinito potencial aborda el infinito como un proceso, mientras que el infinito actual es el objeto mental que se obtiene de la encapsulación, la cosificación de este proceso (Lakoff y Nuñez, 2000;Dubinsky, Weller, Mc Donald y Brown, 2005a;2005b). Cuando una situación requiere que los estudiantes vean este proceso como terminado, pensando en las colecciones formadas por una infinidad de elementos en forma actual, la idea construida fuera y dentro del aula de matemáticas suelen suscitar inconsistencias, incoherencias (Roa-Fuentes y Oktaç, 2014) o presentarse como nociones paradójicas, en función del contexto o de la tarea (Fischbein, Tirosh y Hess, 1979;Garbín, 1998;Garbín y Azcárate, 2000;Mántica y Carbo, 2013;Waldegg, 1993b).…”

Procesos iterativos infinitos y objetos trascendentes: un modelo de construcción del infinito matemático desde la teoría APOE

“…El infinito ha sido una noción particularmente estudiada desde la perspectiva de la teoría APOE (Roa-Fuentes y Oktaç, 2014;Dubinsky, Weller & Arnon, 2013;Brown, McDonald & Weller, 2010;Stenger et al, 2008;Dubinsky, Weller, McDonald & Brown, 2005a, 2005bWeller et al, 2004). Estos estudios han contribuido no sólo a la investigación en Matemática Educativa, sino también a la teoría misma.…”