¿Cuán abundantes son los conjuntos de números? Estudiantes comparando infinitos

Abstract

146Educación MatEMática, vol. 28, núM. 3, diciEMbrE dE 2016 más compleja, la infinitista, sólo fue explicitada por estudiantes universitarios, según dos enfoques: pensar la cardinalidad de los conjuntos infinitos como una única cantidad infinita, o concebir distintos cardinales infinitos, este último expresado sólo por estudiantes avanzados de matemática.Palabras clave: conjuntos numéricos, infinito cardinal, educación secundaria, estudiantes universitarios.Abstract: We studied how students with different mathematical background conceive infinite cardinality of number sets. We analyzed a task in which high school and college students were requested to compare infinite number sets. Students were classified according to their ideas on infinity. Using this classification together with the students' level of math education, we performed a correspondence factorial analysis. A gradient was found in the depth of students' ideas. At one end we found what we called horror infiniti, based students propensity avoid infinity and instead construe it as something undefined. These views were associated with students with less mathematical education. In an intermediate zone, the finitist conception was placed. It was the most frequent way of thinking among the participants of the study, with three versions: tacitly infinitist, explicitly finitist, or taking the integers as model of inclusion. At the other end, the infinitist conception was placed. It was present among students with college mathematical education, according to two types: thinking of the cardinality of number sets as a unique infinite quantity; or conceiving different infinite cardinals. The latter was found only in advanced mathematics students.

Students’ understanding of the number line / Estudiantes pensando en la recta numérica

“…The significant increase found between the number of students who responded that they do not know what would happen upon increasing the image and those who responded ‘I don’t know’, ‘It cannot be’ or ‘I can’t imagine it’ with an infinite increase may indicate that they conceive the infinite as indefinite (Belmonte & Sierra, 2011; Montoro et al, 2016).…”

“…Entre las concepciones que operan cuando los/las estudiantes se enfrentan a tareas que involucran la noción de infinito, encontramos que los más jóvenes o con menor estudio de matemática suelen mostrar inseguridad o resistencia frente a la posibilidad de la existencia de colecciones infinitas (Juan et al, 2012;Montoro, 2005), o tienden a considerar el infinito como indefinido (Belmonte & Sierra, 2011). Dos visiones finitistas muy arraigadas son: concebir el infinito como un número muy grande o extender la propiedad de los conjuntos finitos a los conjuntos infinitos (Juan et al, 2012;Monaghan, 2001;Montoro, Scheuer, & Pérez-Echeverría, 2016;Waldegg, 1993). Muy frecuentemente los jóvenes conciben al infinito en forma potencial (Arrigo & D'Amore, 2004;Fischbein, Tirosh, & Hess, 1979;Monaghan, 2001) y una minoría de universitarios, lo concibe como infinito actual (Montoro, 2005;Moreno-Armella & Waldegg, 1991).…”

“…El incremento importante encontrado entre el número de estudiantes que respondieron que no saben qué ocurriría al ir aumentando la imagen y los que responden ‘no sé’, ‘no se puede’ o ‘no puedo imaginarlo’ con aumento infinito puede indicar a que conciben el infinito como indefinido (Belmonte & Sierra, 2011; Montoro et al, 2016).…”

“…Between the ideas that come into play when students face tasks involving the notion of infinity, we find that the youngest students, or those who have not studied much mathematics, tend to display uncertainty or resistance towards the possibility of the existence of infinite collections (Juan et al, 2012;Montoro, 2005), or they tend to consider infinity as indefinite (Belmonte & Sierra, 2011). Two very deep-rooted finitist visions are to conceive infinity as a very large number or to extend the property of finite sets to infinite sets (Juan et al, 2012;Monaghan, 2001;Montoro, Scheuer, & Pérez-Echeverría, 2016;Waldegg, 1993). Young people very often conceive infinity in potential form (Arrigo & D'Amore, 2004;Fischbein, Tirosh, & Hess, 1979;Monaghan, 2001), and for a minority of university students it is conceived as actual infinity (Montoro, 2005;Moreno-Armella & Waldegg, 1991).…”

Diversidad de ideas construidas por estudiantes sobre los números reales, los números irracionales, el orden y la densidad

“…Una comprensión cabal de estas nociones involucra interactuar con la idea de infinito actual y estudios que indagan sobre concepciones del infinito matemático la muestran como contraintuitiva, lábil (Artigue, 1995;Fischbein, Jehiam, y Cohen, 1994, 1995Juan, Montoro, y Scheuer, 2012;Moreno-Armella y Waldegg, 1995;Monaghan, 2001) y que requiere de contextos educativos que propicien la reflexión a través de intervenciones de enseñanza específicas. (Montoro, 2005;Montoro y Scheuer, 2006;Montoro, Scheuer, y Pérez-Echeverría, 2016;Reina y Wilhelmi, 2017;Sfard, 1994).…”