Diversidad de ideas construidas por estudiantes sobre los números reales, los números irracionales, el orden y la densidad

Abstract

Presentamos el análisis de respuestas, de estudiantes de secundaria y de universidad a cuatro tareas que indagan cómo comprenden qué es un número en general y en particular un número irracional, el orden, la densidad y el supremo de un intervalo, en los números reales. Encontramos un gradiente de profundidad en sus ideas desde (i) una visión de los enteros como modelo de número, ajenidad o inseguridad frente a estos aspectos de R, principalmente en estudiantes con menor estudio de matemática. En una zona intermedia la (ii) concepción de los reales identificados con los decimales finitos y de una discretitud explícita, principalmente en estudiantes de secundaria y (iii) una visión en la cual se identifican a los reales con los racionales y como infinitos-potencialmente densos; presente principalmente en ingresantes a las carreras científicas. Por último y principalmente estudiantes avanzados de Matemática, que (iv) comprenden el orden, la densidad y propiedad del supremo en los reales. Mostramos que para promover que los/las estudiantes se apropien del número real, la enseñanza debe prever para los últimos años de secundaria y primeros de universidad trabajar sobre estas complejas nociones, de modo de facilitar el pasaje de una matemática escolar a una matemática avanzada.