Semicompleteness of homogeneous quadratic vector fields

Guillot, Adolfo

doi:10.5802/aif.2221

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“…Considérons le lemme suivant. Une preuve détaillée se trouve dans [16]. (z 1 , z 2 , ..., z n ) → (z 1 + g(z 2 , ..., z n ), z 2 , ..., z n ), on peut supposer que de développement de Taylor de h n'a que des monômes résonants, des monômes z p 2 2 · · · z p n n tels que n p=2 p i λ i = 1.…”

Section: Algèbres Uniformes Au Voisinage D'un Point Fixé Par Un Tore unclassified

“…On peut de la sorte éclater successivement les germes de courbes invariantes dans le domaine de Poincaré pour arriver à un diviseur où l'on ne trouve que des courbes invariantes réduites. Chez l'ensemble des algèbres qui modèlent les courbes non-réduites on trouve les exemples d'Halphen et leurs quotients par leurs symétries linéaires [16]. La classification de ces algèbres fera l'objet d'une prochaine publication [17].…”

Section: Algèbres Uniformes Au Voisinage D'un Point Fixé Par Un Tore unclassified

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Sur les équations d’Halphen et les actions de SL2(C)

Guillot

2007

Publ.math.IHES

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On étudie les aspects locaux et globaux des actions holomorphes de SL 2 (C) sur les variétés complexes de dimension trois, à partir de l'étude des algèbres de Lie de champs de vecteurs qui engendrent une action uniforme. On décrit géométriquement et dynamiquement une famille de telles algèbres étudiée par Halphen vers la fin du XIXème siècle. On donne des formes normales pour les actions de SL 2 (C) au voisinage des orbites unidimensionnelles. On étudie ensuite les compactifications équivariantes des espaces homogènes de SL 2 (C). On prouve que si Γ ⊂ SL 2 (C) est un sous-groupe discret non-élémentaire alors Γ\SL 2 (C) admet une compactification équivariante (comme variété complexe) si et seulement si Γ est géométriquement fini et n'a pas d'éléments paraboliques. On démontre que toutes les compactifications équivariantes sont biméromorphiquement équivalentes. De plus, si Γ n'a pas de torsion, Γ\SL 2 (C) admet une compactification minimale, obtenue comme quotient d'un ouvert de l'unique compactification biéquivariante de SL 2 (C).Théorème B. -Soit H(α 1 , α 2 , α 3 ) un champ n'ayant que des solutions uniformes. Alors il existe une variété complexe de dimension trois M munie d'une action holomorphe à droite de PSL 2 (C) et d'un plongement ı : C 3 → M tel que la restriction de l'algèbre de Lie de champs de vecteurs (associée à l'action) à l'image de C 3 est engendrée par les champs i ∂/∂z i ,On étudie ensuite les actions locales maximales holomorphes de SL 2 (C) au voisinage d'une orbite unidimensionnelle qui se trouve dans l'adhérence d'une orde Γ\SL 2 (C) si et seulement si le nombre de composantes connexes compactes de Γ\Ω et le nombre de bouts de Γ\SL 2 (C) sont égaux (si Γ est géométriquement fini et n'a pas d'éléments paraboliques). Théorème E. -Soit Γ ⊂ SL 2 (C) un sous-groupe discret et non-élémentaire. Toute compactification équivariante de Γ\SL 2 (C) est une variété (non-kaehlerienne) de dimension algébrique nulle et toutes les compactifications équivariantes sont biméromorphiquement isomorphes. En plus, si Γ n'a pas de torsion (en dehors du centre) alors il existe une unique compactification équivariante Z Γ telle que pour toute autre compactification équivariante M il existe une fonction f : M → Z Γ équivariante surjective.

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Section: Algèbres Uniformes Au Voisinage D'un Point Fixé Par Un Tore unclassified

Sur les équations d’Halphen et les actions de SL2(C)

Guillot

2007

Publ.math.IHES

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“…For quadratic self-maps of P 2 , by proposition 3.2 in [Gui06] (whose incomplete proof is completed in [Gui18]), there is a natural number N such that, generically, there are N linear equivalence classes of self-maps having the same multipliers. This implies that, modulo linear equivalence, the multipliers completely determine a selfmap up to some finite ambiguity.…”

Section: Introductionmentioning

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On the Multipliers at Fixed Points of Quadratic Self-Maps of the Projective Plane with an Invariant Line

Guillot

Ramírez

2019

Comput. Methods Funct. Theory

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This paper deals with holomorphic self-maps of the complex projective plane and the algebraic relations among the eigenvalues of the derivatives at the fixed points. These eigenvalues are constrained by certain index theorems such as the holomorphic Lefschetz fixed-point theorem. A simple dimensional argument suggests there must exist even more algebraic relations that the ones currently known. In this work we analyze the case of quadratic self-maps having an invariant line and obtain all such relations. We also prove that a generic quadratic self-map with an invariant line is completely determined, up to linear equivalence, by the collection of these eigenvalues. Under the natural correspondence between quadratic rational maps of P 2 and quadratic homogeneous vector fields on C 3 , the algebraic relations among multipliers translate to algebraic relations among the Kowalevski exponents of a vector field. As an application of our results, we describe the sets of integers that appear as the Kowalevski exponents of a class of quadratic homogeneous vector fields on C 3 having exclusively single-valued solutions.

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“…A classification of the univalent quadratic homogeneous systems that are symmetric with respect to the full permutation group in three variables follows essentially from Chazy's work (see Section 2.4.1). We have given a classification of the univalent quadratic homogeneous vector fields which are divergence-free [20,Theorem C].…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%