Sur les équations d’Halphen et les actions de SL2(C)

Abstract

On étudie les aspects locaux et globaux des actions holomorphes de SL 2 (C) sur les variétés complexes de dimension trois, à partir de l'étude des algèbres de Lie de champs de vecteurs qui engendrent une action uniforme. On décrit géométriquement et dynamiquement une famille de telles algèbres étudiée par Halphen vers la fin du XIXème siècle. On donne des formes normales pour les actions de SL 2 (C) au voisinage des orbites unidimensionnelles. On étudie ensuite les compactifications équivariantes des espaces homogènes de SL 2 (C). On prouve que si Γ ⊂ SL 2 (C) est un sous-groupe discret non-élémentaire alors Γ\SL 2 (C) admet une compactification équivariante (comme variété complexe) si et seulement si Γ est géométriquement fini et n'a pas d'éléments paraboliques. On démontre que toutes les compactifications équivariantes sont biméromorphiquement équivalentes. De plus, si Γ n'a pas de torsion, Γ\SL 2 (C) admet une compactification minimale, obtenue comme quotient d'un ouvert de l'unique compactification biéquivariante de SL 2 (C).Théorème B. -Soit H(α 1 , α 2 , α 3 ) un champ n'ayant que des solutions uniformes. Alors il existe une variété complexe de dimension trois M munie d'une action holomorphe à droite de PSL 2 (C) et d'un plongement ı : C 3 → M tel que la restriction de l'algèbre de Lie de champs de vecteurs (associée à l'action) à l'image de C 3 est engendrée par les champs i ∂/∂z i ,On étudie ensuite les actions locales maximales holomorphes de SL 2 (C) au voisinage d'une orbite unidimensionnelle qui se trouve dans l'adhérence d'une orde Γ\SL 2 (C) si et seulement si le nombre de composantes connexes compactes de Γ\Ω et le nombre de bouts de Γ\SL 2 (C) sont égaux (si Γ est géométriquement fini et n'a pas d'éléments paraboliques). Théorème E. -Soit Γ ⊂ SL 2 (C) un sous-groupe discret et non-élémentaire. Toute compactification équivariante de Γ\SL 2 (C) est une variété (non-kaehlerienne) de dimension algébrique nulle et toutes les compactifications équivariantes sont biméromorphiquement isomorphes. En plus, si Γ n'a pas de torsion (en dehors du centre) alors il existe une unique compactification équivariante Z Γ telle que pour toute autre compactification équivariante M il existe une fonction f : M → Z Γ équivariante surjective.

Modular Vector Fields Attached to Dwork Family: s l 2 ( C ) Lie algebra

“…This fact combining with (5.6) implies that F is a vector field of degree zero and H is the radial vector field in the weighted space O T . This observation coincides, in some sense, with the definition of Halphen type and semi-simple vector fields given in [Gui07,GR12]. All these facts about weights, may motivate one to pursue the studying of the dynamics of the modular vector field R in the weighted space O T with the assigned weights deg(t i ) = w i .…”

“…A similar statement holds for the Darboux-Halphen vector field, see [Mov12a,Gui07]. Analogously, on the enhanced moduli space T = T n arising from the Dwork family we find a unique modular vector field R ∈ X(T) which along with two other vector fields forms a copy of sl 2 (C).…”

Complex orthogonal geometric structures of dimension three

“…Recall the SO(4, C)-equivariant biholomorphism (9). Let z 2 ∈ C, p = [1 : then, by (19), l p ⊂ D (gn) (p).…”

Quadratic Differential Equations in Three Variables without Multivalued Solutions: Part I

“…for m i = (α 1 + α 2 + α 3 − 2)/α i . We have given a criterion for univalence of vector fields of Halphen type in terms of the projective invariant (2.6); see [21,Proposition 4]. For systems where it is given by (2.7), a sufficient condition for semicompleteness is that m i ∈ Z, m 2 i = 1.…”