Relationship Between Equitable Total Coloring and Range Coloring in Some Regular Graphs

Abstract

This work aims to study the equitable total coloring into subfamilies of regular graphs. For this purpose, we use some relationships between equitable total coloring and range (vertex) coloring in some regular graphs. The concept of range coloring of order k was first presented by Lozano et al. (2009). In this paper, we shows that if a regular graph G admits an equitable range coloring c of order with (+ 1) colors then there is an equitable total coloring of G-with the same set of colors-that extends c. We also show that there are infinite graphs satisfying this theorem. Such graphs are called Harmonics. We generate Harmonic Graphs which are Cartesian products of cycles and their complements. These graphs are regular and they admit an equitable total coloring under the above conditions.

Coloração Total Absolutamente Equilibrada em Grafos Regulares

“…Nesta seção, apresentamos três teoremas que têm como objetivo mostrar que se um grafo regular pode ser colorido com folga ∆ com ∆ + 1 cores, então existe uma extensão da coloração com no máximo ∆ + 2 cores e essa extensão é absolutamente equilibrada. Esses resultados podem ser encontrados em [3,8].…”

“…Em 2011, FRIEDMANN et al [3] mostraram que se um grafo G(V, E) possui uma coloração de vértices com folga de ordem ∆ com t cores, então essa coloração pode ser estendida para uma coloração total de G com no máximo t + 1 cores. Posteriormente, LOZANO et al [8] provaram que se um grafo regular admite uma coloração com folga de ordem ∆ com ∆ + 1 cores, então a coloração de vértices pode ser completada para uma coloração total equilibrada com no máximo ∆ + 2 cores. Em 2016, LOZANO, SIQUEIRA e MATTOS [5] apresentaram uma heurística, baseada no conceito de famílias consistentes, 2 para coloração total de grafos, que satisfaz a conjectura de Vizing-Behzad.…”

“…Este texto está organizado da seguinte forma: inicialmente revisamos conceitos básicos de grafos e coloração, e apresentamos alguns resultados referentes à coloração de vértice com folga de ordem ∆ que garantem uma extensão natural para coloração total com no máximo ∆ + 2 cores, que no caso dos grafos regulares é absolutamente equilibrada [3,8]. Em seguida, mostramos como construir uma família dos grafos harmônicos sem utilizar o conceito de produto funcional de grafos [10].…”

“…[8] Um grafo G(V, E) regular é dito harmônico, se admite uma coloração de vértices com folga ∆ com ∆ + 1 cores.Teorema 5.1 [10]. Sejam n e k ∈ N, se (k+1)|n, então existe um grafo conexo harmônico k-regular com n vértices.…”

Coloração Total Absolutamente Equilibrada em uma Família Grafos Regulares

“…Em 2011, Friedmann et al [3] mostraram que se um grafo G(V, E) possui uma coloração de vértices com folga de ordem ∆ com t cores, então essa coloração pode ser estendida para uma coloração total de G com no máximo t + 1 cores. Posteriormente, Lozano et al [8] provaram que se um grafo regular admite uma coloração com folga de ordem ∆ com ∆ + 1 cores, então a coloração de vértices pode ser completada para uma coloração total equilibrada com no máximo ∆ + 2 cores. Em 2016, Lozano, Siqueira e Mattos [5] apresentaram uma heurística, baseada no conceito de famílias consistentes, para coloração total de grafos, que satisfaz a conjectura de Vizing-Behzad.…”