Rational points and zero-cycles on fibred varieties: Schinzel's hypothesis and Salberger's device

Le complémentaire des puissances -ièmes dans un corps de nombres est un ensemble diophantien

“…On reprend alors la démonstration de [6,Thm. 4.1], page 19,à la formule (4.3), en définissant pour chaque v ∈ S 1 le zéro-cycle z…”

“…Ces polynômes sont de degré d (au lieu de 1 + Dds avec les notations de [6]). Procédant comme au troisième paragraphe de la page 20 de [6], en utilisant l'astuce de Salberger, comme détaillée au §3 de [6]), on trouve un polynôme irréductible G(t) ∈ k[t], de degré d, définissant un point fermé m ∈ V dont la fibre X m /k(m) a des points dans tous les complétés de k(m), donc a un k(m)-point rationnel.…”

“…En combinant un résultat non publié de Salberger (1985), décrit dans l'appendice (paragraphe 6 ci-après), on peut utiliser directement les théorèmes principaux de [5] ou [6] sur les zéro-cycles pour donner une variante de la démonstration du théorème 4.3, variante quiévite le corollaire 3.2 du théorème 3.1, et donc aussi ce dernier théorème.…”

“…Pourétablir le résultat d'effectivité, nous reprenons les démonstrations de [5], dans la version plus souple développée dans [6] (Théorème 3.1 et Corollaire 3.2). La méthode donne N = 2p + 1.…”

“…Si l'on admet un résultat algébrique annoncé par Salberger dans sa thèse [12], mais non publié, on peut se dispenser de revisiter les démonstrations des articles [5] ou [6], ou de citer [17]. Cette méthode alternative donne N = (p − 1)…”