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Building upon the Bloch-Kato conjecture in Milnor K-theory, we relate the third unramified cohomology group with Q/Z coefficients with a group which measures the failure of the integral Hodge conjecture in degree 4. As a first consequence, a geometric theorem of the second-named author implies that the third unramified cohomology group with Q/Z coefficients vanishes on all uniruled threefolds. As a second consequence, a 1989 example by Ojanguren and the first named author implies that the integral Hodge conjecture in degree 4 fails for unirational varieties of dimension at least 6. For certain classes of threefolds fibered over a curve, we establish a relation between the integral Hodge conjecture and the computation of the index of the generic fibre.Résumé : En nous appuyant sur la conjecture de Bloch-Kato en K-théorie de Milnor, nouś etablissons un lien général entre le défaut de la conjecture de Hodge entière pour la cohomologie de degré 4 et le troisième groupe de cohomologie non ramifiéeà coefficients Q/Z. Ceci permet de montrer que sur un solide 1 uniréglé le troisième groupe de cohomologie non ramifiéeà coefficients Q/Z s'annule, ce que la K-théorie algébrique ne permet d'obtenir que dans certains cas. Ceci permetà l'inverse de déduire d'exemples ayant leur source en K-théorie que la conjecture de Hodge entière pour la cohomologie de degré 4 peutêtre en défaut pour les variétés rationnellement connexes. Pour certaines famillesà un paramètre de surfaces, onétablit un lien entre la conjecture de Hodge entière et l'indice de la fibre générique. 1. en anglais, threefold La théorie de Bloch-Ogus, combinéeà la conjecture de Bloch-Kato, maintenant un théorème de Voevodsky [54] et Rost, età un argument de Bloch et Srinivas, permet d'établir un lien entre les deux types d'invariants. Pour les variétés de dimension 3, ce lien avaitété remarqué en 1992 par Barbieri-Viale [3]. En prenant appui sur le cas général de la conjecture de Bloch-Kato, nous montrons au §3 que le lien existe en toute dimension. Le théorème général est le théorème 3.7. Citons-en ici une conséquence (Théorème 3.9) : Théorème 1.1. Soit X une variété, projective et lisse sur les complexes, dont le groupe de Chow des zéro-cycles CH 0 (X) est supporté sur une surface. On a un isomorphisme de groupes finis H 3 nr (X, Q/Z(2)) ≃ → Z 4 (X), où le premier groupe est l'union de ses sous-groupes H 3 nr (X, µ ⊗2 n ). Cela nous permet de traduire et comparer les résultats obtenus par la géométrie algébrique et par la K-théorie algébrique. La combinaison du théorème 1.1 et d'un théorème obtenu par des méthodes de géométrie complexe [57] donne : Théorème 1.2. Soit X un solide projectif et lisse sur les complexes. Si X est uniréglé, alors H 3 nr (X, Q/Z(2)) = 0. Pour les solides fibrés en coniques sur une surface, ce résultat avaitété obtenu via la K-théorie algébrique en 1989 [42]. La combinaison du théorème 1.1 et d'un contre-exempleà la rationalité obtenu par des méthodes de K-théorie algébrique [16] donne :Théorème 1.3. Il existe une variété X projective, li...

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De toute façon, les considérations exposées ici se prêtentà des généralisations variées, qu'il n'entrait pas dans notre propos d'examiner pour l'instant.A. Weil [Wei62] AbstractAn integer may be represented by a quadratic form over each ring of p-adic integers and over the reals without being represented by this quadratic form over the integers.More generally, such failure of a local-global principle may occur for the representation of one integral quadratic form by another integral quadratic form. We show that many such examples may be accounted for by a Brauer-Manin obstruction for the existence of integral points on schemes defined over the integers. For several types of homogeneous spaces of linear algebraic groups, this obstruction is shown to be the only obstruction to the existence of integral points. RésuméUne forme quadratique entière peutêtre représentée par une autre forme quadratique entière sur tous les anneaux d'entiers p-adiques et sur les réels, sans l'être sur les entiers. On en trouve de nombreux exemples dans la littérature. Nous montrons qu'une partie de ces exemples s'explique au moyen d'une obstruction de type Brauer-Manin pour les points entiers. Pour plusieurs types d'espaces homogènes de groupes algébriques linéaires, cette obstruction est la seule obstructionà l'existence d'un point entier.

Résumé. -Inspirés par un argument de C. Voisin, nous montrons l'existence d'hypersurfaces quartiques lisses de dimension 3 sur les complexes qui ne sont pas stablement rationnelles, plus précisément dont le groupe de Chow de degré zéro n'est pas universellementégalà Z. La méthode de spécialisation adoptée ici permet de construire des exemples définis sur un corps de nombres.Abstract. -There are (many) smooth quartic threefolds over the complex field which are not stably rational. More precisely, their degree zero Chow group is not universally equal to Z. The proof uses a variation of a method due to C. Voisin. The specialisation argument we use yields examples defined over a number field.

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