Cohomologie non ramifiée et conjecture de Hodge entière

Abstract

Building upon the Bloch-Kato conjecture in Milnor K-theory, we relate the third unramified cohomology group with Q/Z coefficients with a group which measures the failure of the integral Hodge conjecture in degree 4. As a first consequence, a geometric theorem of the second-named author implies that the third unramified cohomology group with Q/Z coefficients vanishes on all uniruled threefolds. As a second consequence, a 1989 example by Ojanguren and the first named author implies that the integral Hodge conjecture in degree 4 fails for unirational varieties of dimension at least 6. For certain classes of threefolds fibered over a curve, we establish a relation between the integral Hodge conjecture and the computation of the index of the generic fibre.Résumé : En nous appuyant sur la conjecture de Bloch-Kato en K-théorie de Milnor, nouś etablissons un lien général entre le défaut de la conjecture de Hodge entière pour la cohomologie de degré 4 et le troisième groupe de cohomologie non ramifiéeà coefficients Q/Z. Ceci permet de montrer que sur un solide 1 uniréglé le troisième groupe de cohomologie non ramifiéeà coefficients Q/Z s'annule, ce que la K-théorie algébrique ne permet d'obtenir que dans certains cas. Ceci permetà l'inverse de déduire d'exemples ayant leur source en K-théorie que la conjecture de Hodge entière pour la cohomologie de degré 4 peutêtre en défaut pour les variétés rationnellement connexes. Pour certaines famillesà un paramètre de surfaces, onétablit un lien entre la conjecture de Hodge entière et l'indice de la fibre générique. 1. en anglais, threefold La théorie de Bloch-Ogus, combinéeà la conjecture de Bloch-Kato, maintenant un théorème de Voevodsky [54] et Rost, età un argument de Bloch et Srinivas, permet d'établir un lien entre les deux types d'invariants. Pour les variétés de dimension 3, ce lien avaitété remarqué en 1992 par Barbieri-Viale [3]. En prenant appui sur le cas général de la conjecture de Bloch-Kato, nous montrons au §3 que le lien existe en toute dimension. Le théorème général est le théorème 3.7. Citons-en ici une conséquence (Théorème 3.9) : Théorème 1.1. Soit X une variété, projective et lisse sur les complexes, dont le groupe de Chow des zéro-cycles CH 0 (X) est supporté sur une surface. On a un isomorphisme de groupes finis H 3 nr (X, Q/Z(2)) ≃ → Z 4 (X), où le premier groupe est l'union de ses sous-groupes H 3 nr (X, µ ⊗2 n ). Cela nous permet de traduire et comparer les résultats obtenus par la géométrie algébrique et par la K-théorie algébrique. La combinaison du théorème 1.1 et d'un théorème obtenu par des méthodes de géométrie complexe [57] donne : Théorème 1.2. Soit X un solide projectif et lisse sur les complexes. Si X est uniréglé, alors H 3 nr (X, Q/Z(2)) = 0. Pour les solides fibrés en coniques sur une surface, ce résultat avaitété obtenu via la K-théorie algébrique en 1989 [42]. La combinaison du théorème 1.1 et d'un contre-exempleà la rationalité obtenu par des méthodes de K-théorie algébrique [16] donne :Théorème 1.3. Il existe une variété X projective, li...

Chow Rings, Decomposition of the Diagonal, and the Topology of Families

“…It would be tempting to weaken the assumptions in Theorem 6.5 and to ask whether a smooth projective threefold X with trivial CH 0 group (or CH 0 group supported on a surface) satisfies the condition Z 4 (X) = 0. This is essentially disproved in [24] (except that we do not know that the example we have indeed satisfies the conclusion that CH 0 (X) is trivial). In fact, following Kollár, we produce an example of a smooth projective threefold X satisfying H i (X, O X ) = 0, i > 0 and with nontrivial Z 4 (X).…”

“…On the other hand we will show in Section 6.2.2, following [24], that the answer is negative in degree 4 for X of dimension ≥ 6.…”

“…One part of Chapter 6 is devoted to describing recent results concerning the groups Z 2i (X) for X a rationally connected smooth projective complex variety. On the one hand, it is proved in [24] that for such an X, the group Z 4 (X) is equal to the third unramified cohomology group H 3 nr (X, Q/Z) with torsion coefficients. This result, also proved in [6], is a consequence of the Bloch-Kato conjecture, which has now been proved by Voevodsky and Rost.…”

“…However, the Bloch-Kato conjecture, proved by Voevodsky ( [97]) and Rost, implies that the result holds also for cohomology with integral coefficients. Indeed, the Bloch-Kato conjecture implies (see [6], [15], [24], and Section 6.2.2) that the Bloch-Ogus sheaves of Z-modules H k (Z) on X Zar associated to the presheaves…”

“…[Z], Z ⊂ Y, codim Z = 2 introduced in (6.2) is trivial in this case. The conclusion of the above-mentioned Theorems 6.5 and 6.24 is that for a uniruled threefold with CH 0 = Z, all the interesting (and birationally invariant) phenomena concerning codimension 2 cycles, namely the kernel of the AbelJacobi map (Mumford [71]), the Griffiths group (Griffiths [48]) and the group Z 4 (X) versus degree 3 unramified cohomology with torsion coefficients (Soulé and Voisin [93], Colliot-Thélène and Voisin [24]) are trivial. In the rationally connected case, the only interesting cohomological or Chow-theoretic invariant could be the Artin-Mumford invariant (or degree 2 unramified cohomology with torsion coefficients; see [23]), which is also equal to the Brauer group since Stated in words, this question asks for the existence of a universal codimension 2 cycle on J(Y ) × Y .…”