Hasse principle for pencils of curves of genus one whose jacobians have a rational 2-division point

Principe de Hasse pour les intersections de deux quadriques

“…For t ∈ S, if [λ : µ] are homogeneous coordinates for t with λ, µ ∈ κ(t) and if L is a κ(t)-rational hyperplane of P 4 k which does not contain the unique singular point of the quadric λq 1 + µq 2 = 0, the discriminant of the restriction of λq 1 + µq 2 to the vector space underlying L does not depend on L. We shall denote it by ε t ∈ κ(t) /κ(t) 2 .…”

“…La surface X est une surface de del Pezzo de degré 4 ; réciproquement, toute surface de del Pezzo de degré 4 est isomorphe à X pour des 2 comme suit. Soient [λ : µ] des coordonnées homogènes pour t, avec λ, µ ∈ κ(t).…”

“…Nous aurons à considérer la condition suivante : ( ) le groupe Br(X)/ Br(k) est trivial, le point t 0 est k-rationnel, on a ε t = 1 pour tout t ∈ S \ {t 0 } de degré au plus 3 sur k, et enfin soit ε t 0 = 1, soit il existe t ∈ S tel que l'image de ε t 0 dans κ(t) /κ(t) 2 Les surfaces de del Pezzo de degré 4 pour lesquelles tous les t i sont k-rationnels sont celles qui sont isomorphes à des intersections de deux quadriques simultanément diagonales, c'est-à-dire définies par l'annulation de deux formes quadratiques diagonales.…”

“…[13,6,1,2]). À quelques hypothèses techniques près, la variante étudiée dans [1, §1- §5] et [2] s'applique à la restriction de π au-dessus d'une droite suffisamment générale de H .…”

“…[13,6,1,2]). À quelques hypothèses techniques près, la variante étudiée dans [1, §1- §5] et [2] s'applique à la restriction de π au-dessus d'une droite suffisamment générale de H . Reprenant les arguments de [1] et de [2] en termes de modèles de Néron, nous obtenons d'abord un énoncé dans lequel ces hypothèses techniques n'apparaissent plus.…”