Pricing Discretely Monitored Barrier Options by a Markov Chain

Abstract

CIRANOLe CIRANO est un organisme sans but lucratif constitué en vertu de la Loi des compagnies du Québec. Le financement de son infrastructure et de ses activités de recherche provient des cotisations de ses organisations-membres, d=une subvention d=infrastructure du ministère de la Recherche, de la Science et de la Technologie, de même que des subventions et mandats obtenus par ses équipes de recherche. La Série Scientifique est la réalisation d=une des missions que s=est données le CIRANO, soit de développer l=analyse scientifique des organisations et des comportements stratégiques. Reproduction partielle permise avec citation du document source, incluant la notice ©. Short sections may be quoted without explicit permission, provided that full credit, including © notice, is given to the source. CIRANO is a private non-profit organization incorporated under the ISSN 1198-8177Ce document est publié dans l=intention de rendre accessibles les résultats préliminaires de la recherche effectuée au CIRANO, afin de susciter des échanges et des suggestions. Cette étude propose l'utilisation de chaînes de Markov pour l'évaluation de prix d'options à barrière avec vérification à temps discrets dans des contextes de volatilité constante ou variable. La méthode utilise une chaîne de Markov homogène afin d'approcher le processus stochastique postulé pour l'actif sousjacent. Cette méthode procure un environnement naturel pour évaluer ce type d'option puisque le pas discret de la chaîne de Markov peut être adapté à la longueur de temps entre les vérifications de la barrière. Le prix du sous-jacent peut aussi être discrétisé de façon optimale par rapport à la barrière. La méthode est rapide, flexible et simple à implanter puisque le calcul de prix d'options européennes et américaines est réalisé à l'aide de multiplications matricielles. De plus, la méthode proposée est précise pour les cas difficiles où la barrière est située près de la valeur du sous-jacent. Les options « knock-in » et « knock-out » sont examinées. Différents types de barrières telles les barrières doubles ainsi que les barrières mobiles sont aussi examinés.

An exact analytical solution for discrete barrier options

“…In the table we price a single barrier down-and-out call option for different levels of l and different monitoring dates n. Parameters used are spot price = 100, strike = 100, r = 0.10, σ = 0.2, T = 0.5. The competing numerical approximations are the Wiener-Hopf solution computed using the integral representation (IR) in (17) combined with Padé approximant in [17]; Markov chain (MCh) with a grid with 1001 points in [15]; Monte Carlo (MC) with 10 8 simulations with Mersenne twister generator and antithetic variables according to the results reported in [8] (in brackets we have the standard errors); the trinomial tree (TT) in [12]; the Simpson recursive quadrature method (SQ) (grid spacing 2000 points) in [16]. The Wiener-Hopf (WH) solution in (10) has been computed with 300x100 terms for the double sum.…”

“…The inversion of the z-transform has been computed setting ρ = 10 −γ/2n , γ = 8 and n the number of monitoring dates In Table 2 we consider a numerically more difficult example, that is taking the barrier level approaching the spot price. The competing methods are the Markov Chain method (MCh) in [15], the trinomial tree method in [13], the Simpson recursive quadrature method in [16] and the Monte Carlo simulation with 10 8 simulations with Mersenne twister pseudo random generator and antithetic variables in [8]. For the case of 25 monitoring dates and for a spot price far from the barrier (e.g.…”

“…This is natural because if the barrier is above the strike, the condition of being in-the-money at expiry is redundant: if the option does not expire for the spot price touching the barrier then at maturity the spot will certainly be above the barrier, and hence the strike. The only term in the solution F (z, q) that does not have an explicit z-transform inverse is the last expression in (10) and (15). It is therefore convenient to study this quantity, defined asF (z, q) by…”

Chapter 8 Discrete Barrier and Lookback Options

“…A Dirichlet lattice method based on the conditional distribution via Brownian bridge is given in Kuan and Webber (2003). Duan et al (2003) proposed a method based on Markov chain, in combination of lattice, simulation, and the quadrature method. Other lattice methods include adjusting the position of nodes (Ritchken, 1995;Cheuk and Vorst, 1997;Tian, 1999) and refining branching near the barrier Ahn et al, 1999).…”

Barrier Option Pricing Using Adjusted Transition Probabilities

“…The parameters are taken from Table 2 in Duan et al (2003): , , , , and . Panel (d) shows a comparison with the method of Ahn et al (1999).…”