Polynomial bases for subspaces of vector fields in the unit ball. Method of ridge functions

Abstract

This paper deals with the construction of orthogonal polynomial bases for particular subspaces of vector fields defined in the unit ball of R 3 . Our approach uses vector spherical harmonics to construct orthogonal sets of specific solenoidal and potential vector fields by means of ridge functions. It is shown that the approach leads to bases according to the subspaces induced by the Helmholtz-Hodge decomposition of square integrable vector fields.

Poloidal-toroidal decomposition of solenoidal vector fields in the ball

“…оказываются тороидальными, а обобщенные полиномы Цернике Z [1](N+k) Nl -полоидальными потенциалами. Приводится построение других полоидально-тороидальных базисов, связанных с использованием различных спектральных задач для векторного лапласиана [4][5][6].…”

“…Для векторных сферических гармоник имеют место векторные формулы Функа -Гекке [1,[15][16]. Векторные формулы Функа -Гекке также будут применяться для вычислений сферических интегралов, в частности для вычисления векторных полей в сферических координатах и их граничных значений на сфере S 2 .…”

“…Соленоидальные и потенциальные полиномиальные векторные поля в шаре. В работе [1] для пространства L 2 (B 3 ) векторных полей в единичном шаре построен ортогональный базис из полиномиальных векторфункций в соответствии с разложением Гельмгольца, т. е. с подразделением базиса на три части: потенциальную, гармоническую и соленоидальную. Именно, H…”

The method of approximate inverse for ray transform operators on two-dimensional symmetric m-tensor fields

“…При численном решении задач m-тензорной томографии (m ≤ 2) метод наименьших квадратов применялся с полиномиальными [7][8][9] и B-сплайновыми аппроксимирующими последовательностями [10][11][12][13]. Отметим работы, в которых получены сингулярные разложения операторов лучевых преобразований двумерных векторных полей [14][15][16] и симметричных 2-тензорных полей [17][18][19] и проведены численные исследования алгоритмов, основанных на методе усеченного сингулярного разложения. В работе [20] для решения задач тензорной томографии по восстановлению двумерных соленоидальных векторных и 2-тензорных полей предложен подход с использованием ортогональных базисов, построенных с применением полиномов Чебышева.…”

The localized basis functions for scalar and vector 3D tomography and their ray transforms

“…The approach in the last cited reference uses vector spherical harmonics to construct orthogonal sets of specific solenoidal and potential vector fields, specified on the unit solid sphere, by means of ridge functions was developed by Derevtsov at al. [12]. The inversion methods for the ray and k-plane transforms based on the expansion of the object function in terms of an orthogonal set of basis functions were developed in [24,17,18], where the ray transform of these functions was computed with the use of the projection slice theorem.…”