Orthogonal polynomials and generalized oscillator algebras

Abstract

For any orthogonal polynomials system on real line we construct an appropriate oscillator algebra such that the polynomials make up the eigenfunctions system of the oscillator hamiltonian. The general scheme is divided into two types: a symmetric scheme and a non-symmetric scheme. The general approach is illustrated by the examples of the classical orthogonal polynomials: Hermite, Jacobi and Laguerre polynomials. For these polynomials we obtain the explicit form of the hamiltonians, the energy levels and the explicit form of the impulse operators.KEY WORDS: classical orthogonal polynomials, generalized oscillator algebras, Poisson kernels, generalized Fourier transform. MSC (1991): 33C45, 33C80, 33D45, 33D80

Обобщенный Осциллятор И Его Когерентные Состояния

“…В настоящей работе рассматривается новый подход к изучению связи между ор-тогональными полиномами и алгебрами некоторых осцилляторов [10]. А именно, мы покажем, что многочлены Эрмита не являются исключением, так как каждой системе ортогональных многочленов на вещественной оси можно сопоставить си-стему, подобную осциллятору [10].…”

“…А именно, мы покажем, что многочлены Эрмита не являются исключением, так как каждой системе ортогональных многочленов на вещественной оси можно сопоставить си-стему, подобную осциллятору [10]. При этом мы определяем соответствующий ос-циллятор и его гамильтониан по заданному набору ортогональных многочленов, которые оказываются собственными функциями гамильтониана, в то время как при стандартном подходе сам осциллятор и его оператор энергии известны, а следует искать систему собственных функций.…”

Coherent States with Complex Functions

“…Interesting links were established with group representations classical polynomials etc. [1,8,9,3,12]. Recently another class of CS were introduced, by Gazeau and Klauder, for Hamiltonians with discrete and continuous spectrum by taking Φ m (z) = ( √ J) m e iemα and ρ(m) = e 1 e 2 ...e m , where e m 's are the spectrum of the Hamiltonian arranged in a particular way, for details see [7].…”

Generalized coherent states for oscillators connected with Meixner and Meixner—Pollaczek polynomials

“…Firstly, we put the recurrent relations for these polynomials in a symmetrical form [35] (with symmetrical Jacobi matrix) by a renormalization of these polynomials. Secondly, by standard way [35] we introduce the (generalized) coordinate and momentum operators, the associated ladder operators of creation and annihilation and quadratic Hamiltonian which spectrum is defined by the coefficients of (symmetrized) recurrent relations for considered polynomials. In this way we define the oscillator connected with given polynomials.…”

“…To get a symmetrical form of recurrent relations (7) we (following [35]) define the renormalized Meixner polynomials…”