Local-global questions for tori over 𝑝-adic function fields

Abstract

Abstract. We study local-global questions for Galois cohomology over the function field of a curve defined over a p-adic field (a field of cohomological dimension 3). We define Tate-Shafarevich groups of a commutative group scheme via cohomology classes locally trivial at each completion of the base field coming from a closed point of the curve. In the case of a torus we establish a perfect duality between the first Tate-Shafarevich group of the torus and the second Tate-Shafarevich group of the dual torus. Building upon the duality theorem, we show that the failure of the local-global principle for rational points on principal homogeneous spaces under tori is controlled by a certain subquotient of a third etale cohomology group. We also prove a generalization to principal homogeneous spaces of certain reductive group schemes in the case when the base curve has good reduction. IntroductionIn recent years there has been considerable interest in local-global principles for group schemes defined over fields of cohomological dimension strictly greater than 2. In particular, Harbater, Hartmann and Krashen, in a series of papers of which perhaps [18] is the most relevant to our present context, have used patching techniques to introduce and study an analogue of the Tate-Shafarevich group for certain linear algebraic groups over the function field of a curve defined over a complete discretely valued field. In [8] and the recent preprint [9], Colliot-Thélène, Parimala and Suresh have obtained local-global results over similar fields whose formulation shows a closer analogy with the classical theory over number fields.These developments motivate a systematic study of local-global questions for Galois cohomology over the function field K of a curve defined over a finite extension of Q p . In the present paper, except for the last section, we limit ourselves to tori over K and prove two kinds of results: duality theorems for Galois cohomology, and analogues of the by now classical results of Sansuc [31] regarding the Hasse principle for torsors under tori. In the last section we also prove a generalization to torsors under certain reductive groups. Concerning duality, a direct precursor of our theorems is the Artin-Verdier style statement of Scheiderer and van Hamel [32].Let us now review the main results of the paper. Given a torus T over a field K as above, setwhere the product is over closed points of the smooth proper curve X whose function field is K, and K v is the completion of K with respect to the discrete valuation coming from the point v. Note that this definition is different from that of [8] and [9] where all discrete rank 1 valuations of K are considered, and also from that of [18] where the authors complete the local rings of closed points of the special fibre of an integral model of K.

Lois de réciprocité supérieures et points rationnels

“…sur F un corps p-adique, cette obstruction aété utilisée par Ducros [13], resp. par Harari et Szamuely [16]. Ils ont montré que pour certaines classes de variétés, les obstructions ainsi définiesà l'existence de points rationnels sont les seules.…”

“…Pour κ un corps fini il serait intéressant d'utiliser les obstructionsà l'existence d'un K-point sur Z définies par le groupe H 3 nr (K(Z)/K, µ ⊗2 n ). Voirà ce sujet [16].…”

Dualité et principe local-global pour les tores sur une courbe au-dessus de ℂ((t ))

“…Soient k le corps des fractions d'un anneau de valuation discrète, de corps résiduel κ, et K le corps des fonctions d'une courbe C projective, lisse, géométriquement intègre sur k. Dans plusieurs travaux récents, on s'est intéressé au principe local-global pour les points rationnels des espaces principaux homogènes (torseurs) sous un k-groupe linéaire G. Citons ici les travaux de Harbater, Hartmann et Krashen [18][19][20], ceux de Parimala, Suresh et l'un des auteurs du présent article [4,5], et ceux de l'autre auteur avec Szamuely [17] et avec Scheiderer et Szamuely [14].…”

“…qui par passage au quotient par les sous-groupes divisibles maximaux induisent des accouplements parfaits de groupes finis X 1 (K, T ) × X 2 (K, T )/Div −→ Q/Z(−1) et X 1 (K, T ) × X 2 (K, T )/Div −→ Q/Z(−1). Il s'agit en principe d'adapter les arguments donnés dans [17]. Dans [17], on s'intéresse au cas où K est le corps des fonctions d'une courbe sur un corps p-adique.…”

“…Ainsi unélément de K peut par exempleêtre un carré dans tous les complétés K v pour v ∈ Ω sansêtre un carré dans K.Dans le cas (i), le principe local-global ne vaut pas en général pour les points rationnels des torseurs sous un K-tore K-rationnel (voir l'exemple 2.9)à la différence de ce qui se passe sur un corps de nombres (Voskresenskiǐ, voir [28, Cor. 9.7]) ou sur le corps des fonctions d'une courbe p-adique [17, Cor. 5.7].…”