Lois de réciprocité supérieures et points rationnels

Abstract

Résumé. -Soit K = C((x, y)) ou K = C((x))(y). Soit G un K-groupe algébrique linéaire connexe. Il aétéétabli que si G est K-rationnel, c'est-à-dire de corps des fonctions transcendant pur sur K, si un espace principal homogène sous G a des points rationnels dans tous les complétés de K par rapport aux valuations de K, alors il a un point rationnel. Nous montrons ici qu'en général l'hypothèse de K-rationalité ne peutêtre omise. Nous utilisons pour cela une obstruction d'un nouveau type, fondée sur les lois de réciprocité supérieure sur un schéma de dimension deux. Nous donnons aussi une famille d'espaces principaux homogènes pour laquelle cette obstruction raffinéeà l'existence d'un point rationnel est la seule obstruction.Abstract. -Let K = C((x, y)) or K = C((x))(y). Let G be a connected linear algebraic group over K. Under the assumption that the K-variety G is K-rational, i.e. that the function field is purely transcendental, it was proved that a principal homogeneous space of G has a rational point over K as soon as it has one over each completion of K with respect to a valuation. In this paper we show that one cannot in general do without the K-rationality assumption. To produce our examples, we introduce a new type of obstruction. It is based on higher reciprocity laws on a 2-dimensional scheme. We also produce a family of principal homogeneous spaces for which the refined obstruction controls exactly the existence of rational points. 1. Introduction 1.1. Le cadre. -Soient X un schéma régulier intègre de dimension 2, R un anneau local intègre, hensélien, excellent, de corps résiduel k et p : X → Spec R un morphisme projectif surjectif satisfaisant l'une des conditions suivantes.(a) L'anneau R est un anneau de valuation discrète, les fibres de p sont de dimension 1, la fibre générique est lisse et géométriquement intègre. On appellera cela le cas ≪ semi-global ≫.(b) L'anneau R est de dimension 2, et p est birationnel. On appellera cela le cas ≪ local ≫.On note O le point fermé de Spec R. Si p : X → Spec R n'est pas un isomorphisme, la fibre spéciale X 0 = p −1 (O) est une courbe projective, en général réductible, sur le corps k.Soit K le corps des fonctions rationnelles de X . Soit Ω = Ω K la famille des valuations discrètes de rang 1 sur K. Pour v ∈ Ω, on note K v le hensélisé de K en v et R v son anneau des entiers. Tant dans le cas ≪ semi-global ≫ que dans le cas ≪ local ≫, on a la propriété suivante des groupes de Brauer :Cette propriété, valable quel que soit le corps résiduel k, semble connue de plusieurs auteurs. Dans le cas ≪ semi-global ≫ et R complet, on peut renvoyer a [12, Thm. 4.3]. Pour R hensélien, on peut l'établir dans les deux cas par une combinaison de [11, Thm. 1.8] et [11, Prop. 1.14], comme expliqué dans le casCeci donne donc un analogue du théorème de Hasse, Brauer, Noether en théorie du corps de classes.Les problèmes suivants, analogues de problèmes résolus dans la situation où K est un corps global et Ω l'ensemble de ses places ([32], [3]), ont fait l'objet d'un certain nombre d'étud...

Local-global principles for zero-cycles on homogeneous spaces over arithmetic function fields

“…These fields are amenable to patching methods. Local-global principles for rational points on homogeneous spaces over such fields were studied for example in [CTPS12], [CTPS16], [HHK15a]. Here we exhibit several situations where such local-global principles imply corresponding local-global statements for zero-cycles.…”

A Cohomological Hasse Principle Over Two-dimensional Local Rings

“…There a certain K-rationality assumption on the group G plays a special role in the arguments. Counterexamples have been given in [CTPS16] to show that the answer to question (2) can be negative without the rationality assumption.…”

Dualité et principe local-global pour les tores sur une courbe au-dessus de ℂ((t ))

“…Soient k le corps des fractions d'un anneau de valuation discrète, de corps résiduel κ, et K le corps des fonctions d'une courbe C projective, lisse, géométriquement intègre sur k. Dans plusieurs travaux récents, on s'est intéressé au principe local-global pour les points rationnels des espaces principaux homogènes (torseurs) sous un k-groupe linéaire G. Citons ici les travaux de Harbater, Hartmann et Krashen [18][19][20], ceux de Parimala, Suresh et l'un des auteurs du présent article [4,5], et ceux de l'autre auteur avec Szamuely [17] et avec Scheiderer et Szamuely [14].…”

“…Il resteraità comprendre s'il y a une relation entre les obstructions au principe local-global par rapport aux places de K triviales sur k, commeétudiées dans le présent article, et les obstructions supérieures, par rapportà toutes les valuations de K, et faisant intervenir des lois de réciprocité aux points de codimension 2 sur les surfaces arithmétiques, utilisées dans [5].…”