Kreislagerungen auf Flächen konstanter Krümmung

Abstract

In der euklidischen Ebene ist die Dichte 1 einer aus kongruenten Kreisen bestehenden Packung bzw. i]lberdeckung bekanntlich 7~ d<_--bzw. 27z D---->~ 9 Diese beiden Ungleichungen lassen sich im folgenden allgemeineren, yon L. FEJES T6T~ herriihrenden Satz vereinigen. 2 Es sei {Ki} ein System kongruenter Kreise mit der vorgegebenen Dichte <_-(5 <-. Das DeckungsmaB yon {K,} beztiglich der euklidischen Ebene erreicht sein Maximum, wenn die Kreismittelpunkte die Ecken eines regulgren Dreiecksmosaiks sind. Das DeckungsmaB eines Kreissystems beziiglich eines Gebietes G ist durch {K~} N G und das Deckungs-G mag yon {Ki} beziiglich der euklidischen Ebene durch lim {Ki} ('1K(R) R-~ K ( R ) definiert, wo K(R) einen um einen beliebig vorgegebenen Punkt geschlagenen Kreis vom Radius R bedeutet. Ein analoger Satz gilt auch auf der Kugelfl/iche. a Auf der Einheitskugel sei ein System yon n _->3 Kreisen vom Radius 0 vorgegeben. Um das Deckungsmag dieses Kreissystems beziiglich der Kugelfl/iche abzusch/itzen, schlagen wir um die 2zc Ecken eines gleichseitigen sph/irischen Dreiecks vom Fl~icheninhalt n-2 Kreise yore Radius Q. Dann kann das DeckungsmaB des Kreissystems nicht das Deckungs-real3 dieser drei Kreise beziJglich des Dreiecks iibertreffen. Abgesehen yon dem trivialen Fall, dab die Kreise nicht tibereinandergreifen oder die Kugel vollst/indig iiberdecken, 1/iBt sich diese Schranke nur in demjenigen Fall erreichen, wenn die Kreismittelpunkte die Ecken eines regul~iren Dreiecksmosaiks sind. XB,(~) Die Dichte eines in der Ebene ausgestreuten Bereichsystems B~ lfiBt sich dutch lira----R-~ K(R) definieren, wo K(R) einen um einen beliebig gew~ihlten Punkt Q geschlagenen Kreis vom Radius R bedeutet, und Bi(R)=B, fl K(R) ist. Wir bezeichnen einen Bereich und seinen Flficheninhalt mit demselben Symbol. 2 L. FEJISS T6TH: Lagerungen in der Ebene auf der Kugel und ira Raura, III, w 8. 3 S. das in z zitierte Buch, V, w 8. 8*

The Optimal Arrangement of Producers

“…Our first aim is to give affirmative answers to both of these questions (Theorem 1 and Remark 2). As a corollary we obtain a result due to Imre [6]. Theorem 1 will imply that if \J/ is convex then a regular hexagonal arrangement is optimal for the plane (Theorem 3).…”

A short analytic proof of Fejes Tóth's theorem on sums of moments

“…Fejes Tóth proved his estimate first for the 2-sphere and then only for E 2 , see [4,5]. Alternative proofs, in some cases for surfaces of constant curvature, are due to L. Fejes Tóth [6], Imre [12], Bollobas and Stern [2], G. Fejes Tóth [3], Florian [7], Papadimitriou [13], and Haimovich and Magnanti [11]. An extension to Jordan measurable sets on 2-dimensional Riemannian manifolds can be obtained along the lines of [8], see Gruber [10].…”

Quantization for Probability Measures in the Prokhorov Metric

“…and hence ||d {0 }|U 0 (t/(r"A)) ^ s = e n (t/(B n )). The set of midpoints r n a n satisfies |K«aJU 0 (i/(B»)) = ll d {o}IU 0 (i/(r n >i))-Therefore, e n (^(B n )) = ||d { o } || Mt /(r n >i)) (4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14) and r"a n € tf n (U{B n )). It follows from Lemma 2.4 and (4.13) that This implies…”

“…According to an inequality obtained in [14] (see also For n > 1, choose a e ^n{P)-If P{da < e n } = 1, let 7 = Uaea^O-Then |7| ^ kn and {d a < e n } С {d 7 ^ e n /2}, hence…”