In der euklidischen Ebene ist die Dichte 1 einer aus kongruenten Kreisen bestehenden Packung bzw. i]lberdeckung bekanntlich 7~ d<_--bzw. 27z D---->~ 9 Diese beiden Ungleichungen lassen sich im folgenden allgemeineren, yon L. FEJES T6T~ herriihrenden Satz vereinigen. 2 Es sei {Ki} ein System kongruenter Kreise mit der vorgegebenen Dichte <_-(5 <-. Das DeckungsmaB yon {K,} beztiglich der euklidischen Ebene erreicht sein Maximum, wenn die Kreismittelpunkte die Ecken eines regulgren Dreiecksmosaiks sind. Das DeckungsmaB eines Kreissystems beziiglich eines Gebietes G ist durch {K~} N G und das Deckungs-G mag yon {Ki} beziiglich der euklidischen Ebene durch lim {Ki} ('1K(R) R-~ K ( R ) definiert, wo K(R) einen um einen beliebig vorgegebenen Punkt geschlagenen Kreis vom Radius R bedeutet. Ein analoger Satz gilt auch auf der Kugelfl/iche. a Auf der Einheitskugel sei ein System yon n _->3 Kreisen vom Radius 0 vorgegeben. Um das Deckungsmag dieses Kreissystems beziiglich der Kugelfl/iche abzusch/itzen, schlagen wir um die 2zc Ecken eines gleichseitigen sph/irischen Dreiecks vom Fl~icheninhalt n-2 Kreise yore Radius Q. Dann kann das DeckungsmaB des Kreissystems nicht das Deckungs-real3 dieser drei Kreise beziJglich des Dreiecks iibertreffen. Abgesehen yon dem trivialen Fall, dab die Kreise nicht tibereinandergreifen oder die Kugel vollst/indig iiberdecken, 1/iBt sich diese Schranke nur in demjenigen Fall erreichen, wenn die Kreismittelpunkte die Ecken eines regul~iren Dreiecksmosaiks sind. XB,(~) Die Dichte eines in der Ebene ausgestreuten Bereichsystems B~ lfiBt sich dutch lira----R-~ K(R) definieren, wo K(R) einen um einen beliebig gew~ihlten Punkt Q geschlagenen Kreis vom Radius R bedeutet, und Bi(R)=B, fl K(R) ist. Wir bezeichnen einen Bereich und seinen Flficheninhalt mit demselben Symbol. 2 L. FEJISS T6TH: Lagerungen in der Ebene auf der Kugel und ira Raura, III, w 8. 3 S. das in z zitierte Buch, V, w 8. 8*
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