Intersections of Multicurves From Dynnikov Coordinates

Abstract

We present an algorithm for calculating the geometric intersection number of two multicurves on the n-punctured disk, taking as input their Dynnikov coordinates.The algorithm has complexity O(m 2 n 4 ), where m is the sum of the absolute values of the Dynnikov coordinates of the two multicurves. The main ingredient is an algorithm due to Cumplido for relaxing a multicurve.

Dynnikov koordinatları ve π_1–train track grafikleri

“…olarak tanımlanan : ℒ → ℤ 2 −4 \{0} Dynnikov koordinat fonksiyonu birebir ve örtendir [10,17,18,19,20]. Şekil 3' de verilen ℒ çoklu eğrisinin Dynnikov koordinatları (ℒ) = ( , ) = (3, −1; 1,3)' dır.…”

“…Böyle sistemler genellikle Dehn-Thurston koordinatları veya train track koordinatları tarafından tanımlanmaktadır [14,2,11,12]. Yüzeyin -noktası çıkarılmış diski ( adet işaretlenmiş noktalı disk) olması durumunda çoklu eğrileri tanımlamanın alternatif ve oldukça kullanışlı bir yolu çoklu eğrilerin kümesi ile ℤ 2 −4 \{0} ( ≥ 3) arasında birebir ve örten bir fonksiyon tanımlayan Dynnikov koordinat sistemini kullanmaktır [5,6,13,3,4,10,17,18,19,20]. Dinamik sistemlerde oldukça geniş bir uygulama alanı olan Dynnikov koordinat sistemi, -Örgü Grubunda [1] kelime probleminin çözümü [3], pseudo-Anosov tipinden örgülerin topolojik entropi ve diğer dinamiksel özelliklerinin hesaplanması [13,8,10,18,9] problemlerinde kullanılmıştır.…”

“…Bunun sonucunda de verilen iki keyfi çoklu eğrinin geometrik kesişim sayısı yine Dynnikov koordinatları cinsinden kuadratik zamanda çalışan bir algoritma ile hesaplanmıştır [20]. Yüzey homeomorfizmalarının dinamiği [7,16,10,18] ve eğriler ile ilgili kombinatorik problemleri [15,19,20] çalışmak için en sık kullanılan koordinat sistemlerinden biri de train track grafikleridir [14,2,11,12]. Bir train track grafiği düğme adı verilen köşeler ve dal adı verilen kenarlardan oluşan, her bir düğmede bir tek teğet vektörü bulunan ve belli geometrik özellikleri sağlayan bir -komplekstir.…”

Dynnikov coordinates on punctured torus

“…It provides a bijection between the isotopy classes of integral laminations and Z 2n−4 \ {0} . The Dynnikov coordinate system has been extensively used to solve various dynamical and combinatorial problems such as the word problem in the braid group [2,3], calculating the topological entropies of pseudo-Anosov braids [7,9] and computing the geometric intersection number of two integral laminations on D n [11].…”

Sonlu Noktası Çıkarılmış Disk Üzerindeki Örgüler

“…Yurttaş [4]'ın çalışmasında örgülerin de yardımıyla 'deki bir integral laminasyonun (sonlu sayıdaki esas basit kapalı eğrilerin izotopi sınıflarının ayrık bir birleşimi) belirli bir türdeki başka bir integral laminasyon ile geometrik kesişim sayısını hesaplayan bir yöntem sunulmaktadır. Böylece, iki keyfi integral laminasyonun geometrik kesişim sayısını bulan bir yol geliştirilmiştir ve bu yol Yurttaş ve Hall [5]'de anlatılmaktadır. Bunun yanı sıra Yurttaş ve Hall, 'deki bir integral laminasyonun bileşenlerinin sayısını hesaplamak için etkili bir algoritma geliştirmiştir [6].…”