Geometrische Ordnungen

Haupt, Otto; Künneth, Hermann

doi:10.1007/978-3-642-99921-5

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“…Proof By the expansion and contraction theorems of Haupt and K~inneth [1], there is at least one E (a)-singular point s in [Zl,z2]. But zl, z2 are not E (a)-singular.…”

Section: Let Z Be a Icmentioning

confidence: 99%

Normal arcs and curves of K-order k+1

Spoar

1996

Geom Dedicata

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“…Proof By the expansion and contraction theorems of Haupt and K~inneth [1], there is at least one E (a)-singular point s in [Zl,z2]. But zl, z2 are not E (a)-singular.…”

Section: Let Z Be a Icmentioning

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Normal arcs and curves of K-order k+1

Spoar

1996

Geom Dedicata

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“…In the analysis of such ~¢4's it will be necessary to include (2, 2) points ( [5], 2.1) as possible singular points as well as (1,3) and (3,1) points; (2, 2)-singular points are not possible if Condition I is satisfied ( [5], 2.2). The definition of such singular points on A4 is included for the convenience of the reader.…”

Section: 13)mentioning

confidence: 99%

“…Let z be a singular point of an oriented arc ~ of cyclic order four. Then z is (1,3) [(3, 1); (2, 2)] singular, provided that for any two-sided neighbourhood L u (z} u M of z on ~¢4 there exists a circle which meets L and M once and three times [three times and once; twice each], respectively.…”

Section: 13)mentioning

confidence: 99%

“…It is known that a strongly differentiable ( [3], 3.1) normal arc s¢4 of cyclic order four in the conformal plane contains at most four singular points ( [4], 3.6 and [1 ], 4.1.4.3). In [5] it is shown that a much weaker differentiability criterion--namely, Condition I ( [3], 1.5)--is sufficient to obtain four as the least upper bound for such arcs.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

“…In [5] it is shown that a much weaker differentiability criterion--namely, Condition I ( [3], 1.5)--is sufficient to obtain four as the least upper bound for such arcs. Assuming no differentiability conditions, the best bound obtained so far is eleven ( [4] and [1], 4…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

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A least upper bound for the number of singular points on normal arcs and curves of cyclic order four

Spoar

1978

Geom Dedicata

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Verschärfungen des Vierscheitelsatzes und ihre relativ‐geometrischen Verallgemeinerungen

Heil¹

1970

Mathematische Nachrichten

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Der 4-Scheitelsatz der euklidischen Geometrie sagt, da13 eine JORDAN-Kurve mit stetiger Kriimmung mindestens 4 Kriimmungsextrema besitzt. Allgemeiner laBt sich dies ohne Metrik durch die Lage der Schmiegkreise ausdriicken, so daB sich der 4-Scheitelsatz als Satz der MoEBIus-Geometric erweist. Dieser im wesentlichen topologische Gehalt hat seine allgemeinste Formulierung in der Ordnungsgeometrie erfahren. Andrerseits ist der 4-Scheitelsatz fur Ovale in der euklidischen Ebene mehrfach verscharft worden, indem Schranken fur die Scheitelkrummungen angegeben wurden. Diese Verscharfungen lassen sich alle aus dcr Aussage gewinnen, darj es zwei Scheit'elschmiegkreise gibt, die vom Oval umschlossen werdcn und zwei, die das Oval umschliel3en. Sie lassen sich auflerdem, von einer Ausnahme abgesehen, der Scharfe entsprechend ordnen. Dabei kann man sich auf bekannte Ungleichungen stiitzen.I n dieser Arbeit fuhren wir das gleich relativ-geometrisch durch, was keinen wesentlichen Mehraufwand bedeutet. (In Nr. 2 stellen wir das aus der Relativ-Geometrie Benotigte zusammen. Relativ wird im folgenden stets R. abgekurzt.) Wir zeigen, wie sich der genannte Satz fiber die Scheitelschmiegkreise analytisch beweisen lafit; uiid bringcn einen Beweis, der den ordnungsgeometrischen Methoden verwandt ist. Man kann zeigen, daB die R.-Geometrie, soweit Scheitelsatze betrachtet werden, ein Beispiel ist, das den ordnungsgeometrischen Axiomen geniigt. (Dazu hat man die Uberlegungen unserer Hilfssatze 1 und 2 weiterzufuhren. Die Ordnungsgeometrie wird bei HAUPT-KUNNETH [I31 dargestellt.) Mit Hilfe einer von MUK-HO PADHYAYA [24] angegebenen Variante seiner ordnungsgeometrischen Methode, die sich schon bei H. KNESER [I91 findet, gewinnt man aber in diesem Sonderfall die genannte Aussage uber die Lage von 4 Scheitelschmiegkreisen sofort, wahrend sie unter den allgemeineren ordnungsgeometrischen Axiomen grol3ere Muhe fordern diirfte. Die R.-geometrische Durchfiihrung der Idee von KNESER und MUK-HO PADHYAYA bereitet keine groBen Schwierigkeiten. Wenn wir sie hier 15.

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Geometrische Ordnungen

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Normal arcs and curves of K-order k+1

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A least upper bound for the number of singular points on normal arcs and curves of cyclic order four

Verschärfungen des Vierscheitelsatzes und ihre relativ‐geometrischen Verallgemeinerungen

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