Verschärfungen des Vierscheitelsatzes und ihre relativ‐geometrischen Verallgemeinerungen

Abstract

Der 4-Scheitelsatz der euklidischen Geometrie sagt, da13 eine JORDAN-Kurve mit stetiger Kriimmung mindestens 4 Kriimmungsextrema besitzt. Allgemeiner laBt sich dies ohne Metrik durch die Lage der Schmiegkreise ausdriicken, so daB sich der 4-Scheitelsatz als Satz der MoEBIus-Geometric erweist. Dieser im wesentlichen topologische Gehalt hat seine allgemeinste Formulierung in der Ordnungsgeometrie erfahren. Andrerseits ist der 4-Scheitelsatz fur Ovale in der euklidischen Ebene mehrfach verscharft worden, indem Schranken fur die Scheitelkrummungen angegeben wurden. Diese Verscharfungen lassen sich alle aus dcr Aussage gewinnen, darj es zwei Scheit'elschmiegkreise gibt, die vom Oval umschlossen werdcn und zwei, die das Oval umschliel3en. Sie lassen sich auflerdem, von einer Ausnahme abgesehen, der Scharfe entsprechend ordnen. Dabei kann man sich auf bekannte Ungleichungen stiitzen.I n dieser Arbeit fuhren wir das gleich relativ-geometrisch durch, was keinen wesentlichen Mehraufwand bedeutet. (In Nr. 2 stellen wir das aus der Relativ-Geometrie Benotigte zusammen. Relativ wird im folgenden stets R. abgekurzt.) Wir zeigen, wie sich der genannte Satz fiber die Scheitelschmiegkreise analytisch beweisen lafit; uiid bringcn einen Beweis, der den ordnungsgeometrischen Methoden verwandt ist. Man kann zeigen, daB die R.-Geometrie, soweit Scheitelsatze betrachtet werden, ein Beispiel ist, das den ordnungsgeometrischen Axiomen geniigt. (Dazu hat man die Uberlegungen unserer Hilfssatze 1 und 2 weiterzufuhren. Die Ordnungsgeometrie wird bei HAUPT-KUNNETH [I31 dargestellt.) Mit Hilfe einer von MUK-HO PADHYAYA [24] angegebenen Variante seiner ordnungsgeometrischen Methode, die sich schon bei H. KNESER [I91 findet, gewinnt man aber in diesem Sonderfall die genannte Aussage uber die Lage von 4 Scheitelschmiegkreisen sofort, wahrend sie unter den allgemeineren ordnungsgeometrischen Axiomen grol3ere Muhe fordern diirfte. Die R.-geometrische Durchfiihrung der Idee von KNESER und MUK-HO PADHYAYA bereitet keine groBen Schwierigkeiten. Wenn wir sie hier 15.

Vertices of space curves

“…Some of these authors will be mentioned later. Among others, works [9], [10] and [11] which have been published lately give an evidence of vitality and appeal of this topic. Discrete forms of the classical case are not less interesting.…”