Generic Galois extensions and problems in field theory

Saltman, David J.

doi:10.1016/0001-8708(82)90036-6

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“…The idea of using a versal model of a G-torsor, originally due to E. Noether, has come up a number of times in the literature, notably in work of E. Fischer, D. Saltman [17], F. A. Bogomolov [1]; see [20] and [21] for further references.…”

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Rational Connectedness and Galois Covers of the Projective Line

Colliot-Thélène¹

2000

The Annals of Mathematics

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Rational Connectedness and Galois Covers of the Projective Line

Colliot-Thélène¹

2000

The Annals of Mathematics

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“…Ce polynôme est invariant sous l'action de G, il s'écrit donc sous la forme Remarque. L'existence d'un polynôme générique pour C 2 S n a déjà eté montrée dans [Sa,théorème 3.3].…”

Section: Utilisation Du Programme D'emmyunclassified

“…Puisque C 2 H est un produit semi-directà noyau abélien, ce problème de plongement admet des solutions (cf. [S2, p. 18], ou [Sa,th. 3.12] ou [MM,ch.…”

unclassified

Realisation de produits en couronne comme groupe de Galois de polynomes reciproques et construction de polynomes generiques

Lalande

2002

Acta Arith.

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Introduction. Soit K un corps de nombres de degré 2n qui n'est pas de type CM et de clôture galoisienne L. Pour que K soit engendré par un entier réciproque, il faut et il suffit que Gal(L/Q) soit inclus dans le produit en couronne C 2 S n ou autrement dit que K possède un automorphisme d'ordre 2 (cf. [L1] si K admet un plongement réel et l'appendice pour le cas général).À ce point, il est naturel de demander si un sous-groupe de C 2 S n peutêtre réalisé comme groupe de Galois du polynôme minimal d'un nombre réciproque et plus précisément, du polynôme minimal d'un nombre de Salem.Le travail qui suit s'intéresseà cette question et se décompose en deux parties. Dans la première, on réalise explicitement le produit en couronne C 2 H (H sous-groupe transitif de S n ) comme groupe de Galois sur Q d'un polynôme irréductible g en supposant H réalisé par un polynôme f . C'est donc un problème de plongement bien connu mais la résolution explicite que nous donnons permet de choisir g réciproque et même polynôme minimal d'un nombre de Salem si le polynôme f est totalement réel.Rappelons, avant de poursuivre, quelques définitions. Un corps K est dit de type CM s'il possède un automorphisme c d'ordre 2 tel que pour tout plongement σ de K dans C, σ • c = σ. Un polynôme réciproque est un polynôme P vérifiant P (X) = X d P (1/X) (détant le degré de P ), un entier réciproque est un entier algébrique dont le polynôme minimal est réciproque (i.e. un entier algébrique conjuguéà son inverse), et un nombre de Salem est un entier algébrique réciproque, réel, strictement supérieurà 1, dont tous les autres conjugués ont un module inférieur ouégalà 1 avec au moins un conjugué de module 1. Le produit en couronne C 2 S n est le stabilisateur du polynôme X 1 X 2 + X 3 X 4 + . . . + X 2n−1 X 2n sous l'action du

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“…This notion of generic extension has been introduced by Saltman [Sa]. His original definition of a generic extension for G over k was given in terms of Galois extension of rings [Sa,p.255]. (For the definitions of the Galois extensions of rings see [CHR]…”

Section: Notation and Definitionsmentioning

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“…Thus we can identify the Galois group of L /K with G . Let L = Ind Γ G (L ) [Sa,Prop.0.3]. Then the extension of K-algebras L/K is Galois with the group Γ.…”

Section: • Step 5 Let Us Return To the H-galois Covering X → P 1 (Frmentioning

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Lifting wreath product extensions

Black

2000

Proc. Amer. Math. Soc.

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Abstract. Let G and H be finite groups and let K be a hilbertian field. We show that if G has a generic extension over K and H satisfies the arithmetic lifting property over K, then the wreath product G H of G and H also satisfies the arithmetic lifting property over K. Moreover, if the orders of H and G are relatively prime and G is abelian, then any extension of G by H (which is necessarily a semidirect product) has the arithmetic lifting property.

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Generic Galois extensions and problems in field theory

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Rational Connectedness and Galois Covers of the Projective Line

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