Realisation de produits en couronne comme groupe de Galois de polynomes reciproques et construction de polynomes generiques

Abstract

Introduction. Soit K un corps de nombres de degré 2n qui n'est pas de type CM et de clôture galoisienne L. Pour que K soit engendré par un entier réciproque, il faut et il suffit que Gal(L/Q) soit inclus dans le produit en couronne C 2 S n ou autrement dit que K possède un automorphisme d'ordre 2 (cf. [L1] si K admet un plongement réel et l'appendice pour le cas général).À ce point, il est naturel de demander si un sous-groupe de C 2 S n peutêtre réalisé comme groupe de Galois du polynôme minimal d'un nombre réciproque et plus précisément, du polynôme minimal d'un nombre de Salem.Le travail qui suit s'intéresseà cette question et se décompose en deux parties. Dans la première, on réalise explicitement le produit en couronne C 2 H (H sous-groupe transitif de S n ) comme groupe de Galois sur Q d'un polynôme irréductible g en supposant H réalisé par un polynôme f . C'est donc un problème de plongement bien connu mais la résolution explicite que nous donnons permet de choisir g réciproque et même polynôme minimal d'un nombre de Salem si le polynôme f est totalement réel.Rappelons, avant de poursuivre, quelques définitions. Un corps K est dit de type CM s'il possède un automorphisme c d'ordre 2 tel que pour tout plongement σ de K dans C, σ • c = σ. Un polynôme réciproque est un polynôme P vérifiant P (X) = X d P (1/X) (détant le degré de P ), un entier réciproque est un entier algébrique dont le polynôme minimal est réciproque (i.e. un entier algébrique conjuguéà son inverse), et un nombre de Salem est un entier algébrique réciproque, réel, strictement supérieurà 1, dont tous les autres conjugués ont un module inférieur ouégalà 1 avec au moins un conjugué de module 1. Le produit en couronne C 2 S n est le stabilisateur du polynôme X 1 X 2 + X 3 X 4 + . . . + X 2n−1 X 2n sous l'action du

Salem numbers as Mahler measures of nonreciprocal units

“…In [10], Lalande proved that for each n ≥ 2 there are Salem numbers of degree 2n with the largest possible Galois groups Z n 2 S n of order 2 n n! (see also [11]). The example…”