From Gravitons to Gravity: Myths and Reality

Abstract

There is a general belief, reinforced by statements in standard textbooks, that: (i) one can obtain the full non-linear Einstein's theory of gravity by coupling a massless, spin-2 field h ab self-consistently to the total energy momentum tensor, including its own; (ii) this procedure is unique and leads to Einstein-Hilbert action and (iii) it only uses standard concepts in Lorentz invariant field theory and does not involve any geometrical assumptions. After providing several reasons why such beliefs are suspect -and critically re-examining several previous attempts -we provide a detailed analysis aimed at clarifying the situation. First, we prove that it is impossible to obtain the Einstein-Hilbert (EH) action, starting from the standard action for gravitons in linear theory and iterating repeatedly. This result follows from the fact that EH action has a part (viz. the surface term arising from second derivatives of the metric tensor) which is non-analytic in the coupling constant, when expanded in terms of the graviton field. Thus, at best, one can only hope to obtain the remaining, quadratic, part of the EH Lagrangian (viz. the Γ 2 lagrangian) if no additional assumptions are made. Second, we use the Taylor series expansion of the action for Einstein's theory, to identify the tensor S ab , to which the graviton field h ab couples to the lowest order (through a term of the form S ab h ab in the lagrangian). We show that the second rank tensor S ab is not the conventional energy momentum tensor T ab of the graviton and provide an explanation for this feature. Third, we construct the full nonlinear Einstein's theory with the source being spin-0 field, spin-1 field or relativistic particles by explicitly coupling the spin-2 field to this second rank tensor S ab order by order and summing up the infinite series. Finally, we construct the theory obtained by self consistently coupling h ab to the conventional energy momentum tensor T ab order by order and show that this does not lead to Einstein's theory. The implications are discussed.

Массивная Гравитация С Универсальным Взаимодействием

“…Вывод, представленный здесь и в некоторых других работах, следует из слабой общековариантной теории и приводит к сильной об-щековариантной теории, без абсолютных объектов 5) . Таким образом, не следует принимать вводящих в заблуждение утверждений [19] о том, что вывод уравнений…”

“…При взятии функциональной производной δS/δη µν условие того, что метрика η µν является плоской, ослабляется, а затем восстанавливается. Иногда на этот факт указывают, критикуя теорию [19]. Однако подобную процедуру нельзя отвергать даже в случае плоского пространства-времени, поскольку они представ-ляют собой просто формальный прием, полезный при определении тензора энергии-импульса, а не неправомерное использование искривленного пространства-времени.…”

“…Поэтому свободу в добавлении произвольного ротора сле-дует использовать вполне определенным образом. Как показал Хаггинс (аспирант Фейнмана) в своей диссертации [41], а Падманабан недавно снова подчеркнул [19], из-за наличия членов в виде такого ротора взаимодействие поля спина 2 с тензо-ром энергии-импульса не ведет к единственной теории. Вместо этого, как полагает Хаггинс ( [41], с.…”

“…Разный вы-бор расположения индексов и веса плотности не приводит ни к каким различиям в безмассовых теориях (после переопределения полей), однако в настоящей работе разные способы такого выбора дают различные массивные теории. Попутно мы рас-смотрим несколько возражений со стороны Падманабана, высказанных им недавно по поводу полевых выводов уравнений Эйнштейна [19].…”

“…Разный вы-бор расположения индексов и веса плотности не приводит ни к каким различиям в безмассовых теориях (после переопределения полей), однако в настоящей работе разные способы такого выбора дают различные массивные теории. Попутно мы рас-смотрим несколько возражений со стороны Падманабана, высказанных им недавно по поводу полевых выводов уравнений Эйнштейна [19].В последнее время вопрос о массивной гравитации с компонентами спина 2 и спи-на 0 обсуждался несколькими авторами [20], [21]. Хотя и допустимо просто постули-ровать нелинейные свойства (если таковые имеются) массового члена, предпочти-тельно найти хорошо мотивированные теоретические принципы, ограничивающие 1) Заметим, что известен также вывод общей теории относительности из самодействия на ис-кривленном фоне [10], [15].…”