Étale cohomology for non-Archimedean analytic spaces

Berkovich, Vladimir G.

doi:10.1007/bf02712916

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“…This procedure is long to describe in details and is totally analogous to what Berkovich did in [11]. We refer to the last chapter of [6] for details of the dagger case of this constructions.…”

Section: Proofmentioning

confidence: 99%

Dagger geometry as Banach algebraic geometry

Bambozzi

Ben-Bassat²

2016

Journal of Number Theory

106

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Abstract. In this article, we apply the approach of relative algebraic geometry towards analytic geometry to the category of bornological and Ind-Banach spaces (non-Archimedean or not). We are able to recast the theory of Grosse-Klönne dagger affinoid domains with their weak G-topology in this new language. We prove an abstract recognition principle for the generators of their standard topology (the morphisms appearing in the covers). We end with a sketch of an emerging theory of dagger affinoid spaces over the integers, or any Banach ring, where we can see the Archimedean and non-Archimedean worlds coming together.

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Section: Proofmentioning

confidence: 99%

Dagger geometry as Banach algebraic geometry

Bambozzi

Ben-Bassat²

2016

Journal of Number Theory

106

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“…Dr,0 × Z. Enfin on note sans les fibres génériques au sens de Raynaud-Berkovich de ces espaces : ce sont donc des K nr -espaces analytiques au sens de [4]. −→ M Dr,m de 3.1.1.…”

Section: L'espaceunclassified

Théorie de Lubin-Tate non-abélienne et représentations elliptiques

Dat

2007

Invent. math.

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Résumé Non abelian Lubin-Tate theory studies the cohomology of some moduli spaces for p-divisible groups, the broadest definition of which is due to Rapoport-Zink, aiming both at providing explicit realizations of local Langlands functoriality and at studying bad reduction of Shimura varieties. In this paper we consider the most famous examples ; the so-called Drinfeld and Lubin-Tate towers. In the Lubin-Tate case, Harris and Taylor proved that the supercuspidal part of the cohomology realizes both the local Langlands and Jacquet-Langlands correspondences, as conjectured by Carayol. Recently, Boyer computed the remaining part of the cohomology and exhibited two defects : first, the representations of GL d which appear are of a very particular and restrictive form ; second, the Langlands correspondence is not realized anymore. In this paper, we study the cohomology complex in a suitable equivariant derived category, and show how it encodes Langlands correspondence for elliptic representations. Then we transfer this result to the Drinfeld tower via an enhancement of a theorem of Faltings due to Fargues. We deduce that Deligne's weight-monodromy conjecture is true for varieties uniformized by Drinfeld's coverings of his symmetric spaces. This completes the computation of local L-factors of some unitary Shimura varieties. [3] et 2.1. Les coefficients des représentations sont ici l-adiques pour un premier l = p. Rappelons néanmoins que ces correspondances sont définies initialement en termes de représentations complexes (et en remplaçant W K par le groupe de Weil-Deligne), qu'elles sont caractérisées par des propriétés de préservation d'invariants de nature arithmético-analytique, mais qu'elles se transfèrent (presque) sans ambiguïtéà tout corps de coefficients abstraitement isomorpheà C, cf 2.2.Comme dans la théorie de Lubin-Tate abélienne, la réalisation explicite de ces correspondances est obtenue grâce aux points de torsion d'un certain O K -module formel, sauf que celui-ci va désormais vivre sur un K nr -espace analytique de dimension d − 1. Il y a en fait deux constructions d'un tel O K -module formel.-La première est une généralisation directe de la situation abélienne ; lorsque d > [44] pour l'espace symétrique de Drinfeld fournissait des renseignements sur la partie non-cuspidale de la cohomologie. Ce calcul a inspiréà Harris une conjecture (non publiée) sur la forme explicite des groupes de cohomologie individuels du côté Dr. Récemment, Boyer [12] a annoncé une preuve de cette conjecture, en travaillant du côté LT . Son résultat peut s'exprimer "qualitativement" comme ceci : Soit π une représentation irréductible de contribution non-nulleà H i c , alors π est elliptique et isogénies estGL d (K). Le problème de "déformations par quasi-isogénies" de X d est représentable par un schéma formel dont la fibre générique est le fameux espace symétrique de Drinfeld Ω d−1 (P d−1 K nr privé des hyperplans K-rationnels) qui, par le jeu des trivialisations des points de torsion du Ooù (?) désigne une certaine tors...

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“…Cette définition s'étend à des espaces k-analytiques généraux en requérant l'existence d'une structure H -stricte, c'est-à-dire d'un maillage (que V. Berkovich désigne sous le terme de « net » dans [4]) par des domaines affinoïdes H -stricts.…”

Section: Lieu H-strict D'un Espace Affinoïdeunclassified

Sur Les Composantes Connexes D’une Famille D’espaces Analytiques -Adiques

Poineau

2014

Forum math. Sigma

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RésuméSoit X = M(A ) un espace affinoïde et soient f, g ∈ A . Nous étudions les ensembles de composantes connexes des espaces définis par une inégalité de la forme | f | r |g|, avec r 0. Nous montrons qu'il existe une partition finie de R + en intervalles sur lesquels ces ensembles sont canoniquement en bijection et que les bornes de ces intervalles appartiennent à ρ(A ). AbstractOn the connected components of a family of p-adic analytic spaces. Let X = M(A ) be an affinoid space and let f, g ∈ A . We study the sets of connected components of the spaces defined by an inequality of the form | f | r |g|, with r 0. We prove that there exists a finite partition of R + into intervals where those sets are canonically in bijection and that the bounds of those intervals belong to ρ(A ).

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Étale cohomology for non-Archimedean analytic spaces

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Dagger geometry as Banach algebraic geometry

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