Théorie de Lubin-Tate non-abélienne et représentations elliptiques

Abstract

Résumé Non abelian Lubin-Tate theory studies the cohomology of some moduli spaces for p-divisible groups, the broadest definition of which is due to Rapoport-Zink, aiming both at providing explicit realizations of local Langlands functoriality and at studying bad reduction of Shimura varieties. In this paper we consider the most famous examples ; the so-called Drinfeld and Lubin-Tate towers. In the Lubin-Tate case, Harris and Taylor proved that the supercuspidal part of the cohomology realizes both the local Langlands and Jacquet-Langlands correspondences, as conjectured by Carayol. Recently, Boyer computed the remaining part of the cohomology and exhibited two defects : first, the representations of GL d which appear are of a very particular and restrictive form ; second, the Langlands correspondence is not realized anymore. In this paper, we study the cohomology complex in a suitable equivariant derived category, and show how it encodes Langlands correspondence for elliptic representations. Then we transfer this result to the Drinfeld tower via an enhancement of a theorem of Faltings due to Fargues. We deduce that Deligne's weight-monodromy conjecture is true for varieties uniformized by Drinfeld's coverings of his symmetric spaces. This completes the computation of local L-factors of some unitary Shimura varieties. [3] et 2.1. Les coefficients des représentations sont ici l-adiques pour un premier l = p. Rappelons néanmoins que ces correspondances sont définies initialement en termes de représentations complexes (et en remplaçant W K par le groupe de Weil-Deligne), qu'elles sont caractérisées par des propriétés de préservation d'invariants de nature arithmético-analytique, mais qu'elles se transfèrent (presque) sans ambiguïtéà tout corps de coefficients abstraitement isomorpheà C, cf 2.2.Comme dans la théorie de Lubin-Tate abélienne, la réalisation explicite de ces correspondances est obtenue grâce aux points de torsion d'un certain O K -module formel, sauf que celui-ci va désormais vivre sur un K nr -espace analytique de dimension d − 1. Il y a en fait deux constructions d'un tel O K -module formel.-La première est une généralisation directe de la situation abélienne ; lorsque d > [44] pour l'espace symétrique de Drinfeld fournissait des renseignements sur la partie non-cuspidale de la cohomologie. Ce calcul a inspiréà Harris une conjecture (non publiée) sur la forme explicite des groupes de cohomologie individuels du côté Dr. Récemment, Boyer [12] a annoncé une preuve de cette conjecture, en travaillant du côté LT . Son résultat peut s'exprimer "qualitativement" comme ceci : Soit π une représentation irréductible de contribution non-nulleà H i c , alors π est elliptique et isogénies estGL d (K). Le problème de "déformations par quasi-isogénies" de X d est représentable par un schéma formel dont la fibre générique est le fameux espace symétrique de Drinfeld Ω d−1 (P d−1 K nr privé des hyperplans K-rationnels) qui, par le jeu des trivialisations des points de torsion du Ooù (?) désigne une certaine tors...

Sur la fonctorialité, pour GL(4), donnée par le carré extérieur

“…Nous sommes maintenant prêtsà exploiter [13, Theorem VII.1.9], complété par [24, Theorem A] (voir aussi [3] et [10]).…”

On the -Adic Cohomology of Some -Adically Uniformized Shimura Varieties

“…Here we prove the identity as G(A f ) × W E -representations. We note that essentially the same idea had already appeared in [8] section 5.…”

“…In the case r = 1 Dat has proved the Weight-Monodromy conjecture for these Shimura varieties, cf. [8]…”

“…We first prove the theorem for case r = 1 by using the results of Boyer [6] and Dat [8], thus avoiding the counting points method for these Shimura varieties. In fact, the global p-adic uniformization leads to a Hochschild-Serre spectral sequence for the -adic cohomology of these Shimura varieties, from which we get a formula (in [12] Fargues called it as a p-adic Matsushima formula) for H ξ .…”

L’espace symétrique de Drinfeld et correspondance de Langlands locale II

“…Cetteéquivalence est compatibleà l'équivalence α n Fq , les induites paraboliques normalisées et les foncteurs de Jacquet normalisés (voir [Dat07]). Notons que π = π I ρ( θ) ∈ B…”