LES ESPACES DE BERKOVICH SONT ANGÉLIQUES par Jérôme PoineauRésumé. -Bien que les espaces de Berkovich définis sur un corps trop gros ne soient, en général, pas métrisables, nous montrons que leur topologie reste en grande partie gouvernée par les suites : tout point adhérent à une partie est limite d'une suite de points de cette partie et les parties compactes sont séquentiellement compactes. Notre preuve utilise de façon essentielle l'extension des scalaires et nous en étudions certaines propriétés. Nous montrons qu'un point d'un disque peut être défini sur un sous-corps de type dénombrable et que, lorsque le corps de base est algébriquement clos, tout point est universel : dans une extension des scalaires, il se relève canoniquement.
Let X be a quasi-smooth Berkovich curve over a field of characteristic 0 and let F be a locally free O X -module with connection. In this paper, we prove local and global criteria to ensure the finite-dimensionality of the de Rham cohomology of F . Moreover, we state a global Grothendieck-Ogg-Shafarevich formula that relates the index of F in the sense of de Rham cohomology to the Euler characteristic of X and expresses the difference as a sum of irregularities. We also derive super-harmonicity results for the partial heights of the convergence Newton polygon of F .
International audienceNous étudions les propriétés locales des espaces de Berkovich sur Z. À l'aide de théorèmes de Weierstraß, nous montrons que les anneaux locaux de ces espaces sont noethériens, réguliers dans le cas des espaces af-fines et excellents. Nous prouvons également que le faisceau structural est cohérent. Nos méthodes s'adaptent à d'autres anneaux de base (corps valués, anneaux de valuation discrète, anneaux d'entiers de corps de nombres, etc.) et traitent de façon unifiée espaces complexes et p-adiques
Let k be a non-Archimedean field, let X be a k-affinoid space and let f 1 , . . . , f n , with n ∈ N * , be analytic functions over X. If X is irreducible, we prove that the analytic domain 1 j n {x ∈ X | |f j (x)| ε j } is still irreducible, provided that (ε 1 , . . . , ε n ) ∈ R n + is small enough. Then, for a general X, we precisely describe how the geometric connected components of the spaces {x ∈ X | |f (x)| ε} behave with regards to ε. Finally, we obtain a result concerning privileged neighbourhoods and adapt a theorem from complex analytic geometry about Noetherianity for germs of analytic functions.
We study the radius of convergence of a differential equation on a smooth Berkovich curve over a non-archimedean complete valued field of characteristic 0. Several properties of this function are known: F. Baldassarri proved that it is continuous (see [Bal10]) and the authors showed that it factorizes by the retraction through a locally finite graph (see [Pul12] and [PP12]). Here, assuming that the curve has no boundary or that the differential equation is overconvergent, we provide a shorter proof of both results by using potential theory on Berkovich curves.
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