Die Normalisierung komplexer R�ume

Kuhlmann, Norbert

doi:10.1007/bf01451331

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“…By the previous paragraph, the induced germ of an analytic function η : ( X , 0) → (X , 0) is finite and generically 1-1. On the other hand, it is known that X normal implies that ( X , 0) normal [15,Satz 4]. By the uniqueness of normalization we conclude that η : ( X , 0) → (X , 0) is the normalization of (X , 0).…”

Section: Lemma 22 With the Previous Notationmentioning

confidence: 87%

“…In this setting the image of I ∆ by the morphism ψ * in C{t } is of the form: A similar analysis as in the previous case shows that A ∪ B is the minimal generating set of Γ s and has cardinality N + 1. From the previous corollary we have the semigroup Γ s associated to the Lipschitz saturation (X s , 0) with minimal generating set A s = {(1, 0), (3,5), (3,10), (3,12), (3,13), (3,14), (3,15), (3,17), (3,18), (3,19), (3,20), (0, 11)}, normalization map η : (C 2 , 0) −→ (X s , 0) ⊂ (C 12 , 0) (u, v) → u, u 3 v 5 , u 3 v 10 , u 3 v 12 , u 3 v 13 , u 3 v 14 , u 3 v 15 , u 3 v 17 , u 3 v 18 , u 3 v 19 , u 3 v 20 , v 11 , and embedding dimension 12.…”

Section: Proof (Of Theorem 32 )mentioning

confidence: 99%

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Nash Modification on Toric Curves

Duarte

Tripp

2018

Singularities, Algebraic Geometry, Commutative Algebra, and Related Topics

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Section: Lemma 22 With the Previous Notationmentioning

confidence: 87%

Section: Proof (Of Theorem 32 )mentioning

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Nash Modification on Toric Curves

Duarte

Tripp

2018

Singularities, Algebraic Geometry, Commutative Algebra, and Related Topics

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“…Let

\widetilde{B}

and

\widetilde{D}

denote the preimages of

B

and

D

{\mathcal {Z}}(d)

and

{\tilde{\mathcal {X}}}(d)

, respectively. By [23, Theorem 4],

\widetilde{B}

and

\widetilde{D}

are normal complex spaces. The preimage of the smooth locus of

B

and

D

\widetilde{B}

and

\widetilde{D}

are denoted by

\widetilde{B}^{\circ }

and

\widetilde{D}^{\circ }

, respectively.…”

Section: Quiver Varieties and Slodowy Slicesmentioning

confidence: 99%

A new family of isolated symplectic singularities with trivial local fundamental group

Bellamy

Bonnafé

et al. 2023

Proceedings of London Math Soc

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We construct a new infinite family of 4-dimensional isolated symplectic singularities with trivial local fundamental group, answering a question of Beauville raised in 2000. Three constructions are presented for this family: (1) as singularities in blowups of the quotient of 4 by the dihedral group of order 2d , (2) as singular points of Calogero-Moser spaces associated with dihedral groups of order 2d at equal parameters, (3) as singularities of a certain Slodowy slice in the d -fold cover of the nilpotent cone in sl d .

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“…Es 1/~gt sich folgendermagen vorgehen (Man vergleiche hierzu den Beweis yon [11], Satz 1): P ~ X sei normal. Da X dann in P irreduzibel ist, existiert eine Umgebung U 1 yon P, so dab U 1 irreduzibel (und insbesondere rein-dimensional) ist.…”

Section: E(u)/(g" E(u)unclassified

�ber die normalen Punkte eines komplexen Raumes

Kuhlmann¹

1962

Math. Ann.

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Es sei X ein komplexer Raum (im Sinne yon SERRE [20]) mit der komplexen Strukturgarbe • und der Garbe ~gt der meromorphen Funktionskeime; fiir P ~ X ist Jt'p der totale Quotientenring von ~p, also gleich {l/g I l, g E ~)P, g Nichtnullteiler in g)p}. Eine meromorphe Funktion 1) a E ~P heiBt ganz (in bezug auf ~p), wenn a einer Relation a n + a 1 • a "-x + ... + an -0 mit al, a2,. . . , a n ~ ~)p geniigt. Die Menge ~)'p aller in bezug au/ ~p ganzen Gr6flen aus ~p ist ein Ring und zugleich ein endlicher Op.Modul; ~'p heiBt die ganzabgeschlossene Hiille von ~p (in dgp). Die Elemente aus 0~ werden h/~ufig auch schwach-holomorphe Funktionskeime ~) genannt. Ein Punkt P E X heiflt normal, wenn ~ = ~p; X heiBt ein normaler komplexer Raum, wenn X nur normale Punkte besitzt. ~' sei die Garbe der schwach-holomorphen Funktionskeime fiber X. Schnitte in ~' heil3en schwach-holomorphe Funktionen.Es interessieren Methoden, um nachzuweisen, dab etwa die Menge der normalen Punkte von X often ist, oder, dab unter gewissen Voraussetzungen X normal ist, oder, dal3 gewisse schwach-holomorphe Funktionen bereits holomorph sind.Es ist nun in der algebraischen Geometrie bereits seit l~ngerem bekannt (siehe z.B.[18]), dab man den Nachweis der Normalit~t einer irreduziblen algebraischen Variet~t 3) X* mit Hilfe eines Satzes etwa vom folgenden Typus fiihren kann: X* ist unter gewissen Voraussetzungen 4) bereits eine normale algebraische Varietdt, wenn /iir einen universellen Nenner u* au/ X* und ]iir alle Q E X* gilt (Es sei ~)* die Garbe der Stellenringe fiber X*; ~)* entspricht d er Garbe der holomorphen Funktionskeime im komplex-analytischen Fall. Sei g)*' die ~*-Garbe fiber X*, deren Halme ~' fiir P E X aus den ganzabgeschlossenen Hiillen der ~ in ihren totalen Quotientenringen bestehen; ~) Es wird im allgemeinen nicht zwischen Funktionen und den yon ihnen erzeugten Funktionskeimen unterschieden. Es wird manchmal yon Funktionen gesprochen, wenn Funktionskeime gemeint sind. ~) Um den Gegensatz zwischen ,,holomorph" und ,,schwach-holomorph" zu betonen, pflegt man die hier als ,,holomorph" bezeichneten Funktionen manchmal auch ,,starkholomorphe" Funktionen zu nennen. In einzelnen Arbeiten, wie z. B. in [21], [22] sind mit ,,holomorphen" Funktionen ,,sc.hwach-holomorphe" Funktionen gemeint.s) Zur Begriffswahl siehe [19].') Diese Voraussetzungen sind z. B. gegeben, wemn die Sing~JaritAtenmenge von X* mindestens 2.codimensional ist. (9)) U" (gp nur isolierte Primiiridealkomponenten der gleichen Dimension. Aufgabe: Man folgere hieraus, dal3 dann schon ffir ale Punkte Q einer Umgebung V ~ U yon P das Ideal u.(gQ nur isolierte Prim/iridealkomponenten der gleichen Dimension besitzt. Da die Singularit£tenmenge auf V ja mindestens 2-codimensional ist, ist V damit normal (siehe Lemma 2 und 4 dieser Arbeit). Auf den ersten Blick scheint die soeben skizzierte Ausffihrung der Beweisidee umst/~ndlicher zu sein als der kfirzere Weg in [11]; abet daffir wird nun auch der tiefere Grund sichtbar, weshalb das in [11] gew/~hlte Verfahren zum Ziele ffihrte. Ube...

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Die Normalisierung komplexer R�ume

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A new family of isolated symplectic singularities with trivial local fundamental group

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