Die affinen Räume einer Dimension ≧ 3 mit FANO‐Axiom im Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff

Abstract

EinleitungNachdem u. a. dureh HILBERT, HESSENBERG und HJELMSLEV (orthogonale) Spiegelungen beim Aufbau gewisser geometrischer Theorien benutzt wurden, wuchs die Erkenntnis von der grundlegenden Bedeutung der Bewegungen und der Spiegelungen beim Aufbau der klassischen euklidischen und nichteuklidischen Geometrien. Hohepunkt dieser Entwicklung ist der Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, bei dem von einer Gruppe und einem aus involutorischen Elementen bestehenden Erzeugendensystem, die als Gruppe der Bewegungen und Menge der Spiegelungen an Geraden in einer klassischen euklidischen oder nichteuklidischen Geometrie der Ebene interpretiert werden konnen, ausgegangen wird. Diesbezuglich seien nur G. THOMSEN, A. SCHMIDT und F. BACHMANN genannt.Die Anzahl der Bearbeiter und Veroffentlichungen ist bezuglich der Theorie der metrischen Ebenen groB (einige Arbeiten sind im Literaturverzeichnis aufgefuhrt !). Neben den Beitriigen zur Theorie der metrischeii Ebenen gibt es Arbeiten, in denen Verallgemeinerungen hinsichtlich der Dimension (vgl. [I]) bzw. hinsichtlich des Bewegungsbegriffes (vgl. [6], [la], [25]) behandelt werden. I m letzten Abschnitt von [I41 wurde es als wunschenswert bezeichnet, einen Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff so vorzunehmen, da13 die Dimension nicht von vornherein festgelegt wird. Damit sol1 die Spiegelungsgeometrie fur die Riiume erschlossen werden, die in den Anwendungen auBerhalb der Geometrie (etwa in der theoretischen Physik) bedeutsam sind. Die vorliegende Arbeit dient dem genannten Ziel. DaB sogar die affine (und nicht erst die iiquiaffine) Geometrie der gruppentheoretischen Axiomatik im Sinne der Spiegelungsgeometrie zuganglich ist, kann als uberraschendes Ergebnis aufgefal3t werden. Im Teil I wird zunachst jedoch ein System von Inzidenzaxiomen vorgelegt, da auf seiner Grundlage Spiegelungen in affinen RLumen einer Dimension 2 3 und damit auch einer beliebigen unendlichen Dimcnsioii 246 lilotzek. Dic affinen RLunie einer Dimension 2 3 mit Fano-Sxiom gat studiert -cr erden koniien und soniit Vorarbeit fur die Einfuhrung der gruppentheoret ischen Axioniensystenie mid fiir die Kennzeichnung der dadurch chnrakterisierten Theorie erbracht rn erden kann. Gegeniiber dem System der Inzidenzaxianie von HILBERT [S] sind drei wesentliche Veriinderungeii vorgenoinmen woi den : die Verschmelzang der Axiomeiigruppen I uiid IV, wobei das (enklidische) Parallelenaxiom in seiner scharferen Fassung gebraucht wird, die Aufiiahnie des FANo-Axioms. das in Hinsicht auf die Einfuhruiig von Spiegehingen bedeutsani ist, uiid die Abschwachung des 7. Inzidenzaxioms von HILBERT [S], nach den1 die Dimension hochstens 3 ist, auf eine von LENZ [ l S ] angegeberie Fassung. I m Gegensatz zu HILBERT [S] werden in den Axiomen auch nur Punkt, Gerade und Ebeiie als Grundbegriffe verw-endet. I m Teil I1 der Arbeit wird die Theorie der affinen Raume einer Dimension -2 3 mit FASO-Axiom aus dem Spiegelungsbegriff aufgebaut. Um die unendlich diinensionalen Raume nicht auszuschlieDen, wurde der Begriff der ...

Metrisch‐euklidische Räume Beliebiger Dimension Im Aufbau Der Geometrie Aus Dem Spiegelungsbegriff

“…Sind A ,B, C , D komplanar und A , B, C, D. E nicht komplanar, dann yibt es IC:5 Es gibt vier nicht komplanare Punkte.F o l g e r u n g W e n n die Dimension des Inzidenzraumes (p,Q, I) groper als drei ist, dann bilden die Geraden und Ebenen durch einen festen Punkt 0 einen projektiven Raum. wobei etwa A , B, C, D 1 E und E J' E gilt, dann gibt es Hyperebenen 01, p mit E , F 1x1 p und P := E '$ sowie eine Gerade g mit E , P I g. Sei y : = Pg.…”