Pseudoeuklidische Räume im Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff

Abstract

PSEUDOEUKLIDISCHE RBUME I M AUFBAU DER GEOMXTRIE AUS DEM SPIEGELTJNGSBEGRIFF von BENNO KLOTZEK in Potsdam und RUDOLF OTTENBERG in Berlin (DDR) Einleitung Hier betrachten wir einen vierdimensionalen pseudoeuklidischen Raum zunachst als vierdimensionalen affinen Raum iiber einem Korper von einer Charakteristik += 2, in dem eine symmetrische Bilinearform q~ uber dem zugehorigen Vektorraum V mit den Eigenschaf ten eine Metrik bestimmt. Dagegen machen wir keine Voraussetzungen beziiglich Anordnung oder gar Stetigkeit. Unterraume U , deren zugehorige Vektorraume V ( U ) ebenfalls (1) erfiillen, heiBen unisotrop; an ihnen kann derart gespiegelt werden, dal3 U punktweise und V ( U ) l := {z E V : ~( z , y) = O fur alle y E V> als Ganzes festbleiben. Sind u, u' Spiegelungen an anisotropen Unterraumen, dann wird ulu' :o cr, cr', cru' involutorisch (von der Ordnung 2) gesetzt. Fur die Interpretation des Axiomensystems in 1. sind folgende Aussagen bedeutsam: Ist G Xpiegelung an einem k-dimensionalen Unterraum U , dann gibt es 4-k anisotrope Hyperebenen H , , so dap die Spiegelungen daran paarweise in der Relation I stehen und ihr Produkt 6 darstellt; dabei gilt U = n H , . Dariiber hinaus erxeugt die Menge der Spiegelungen a n den anisotropen Hyperebenen die gesumte Bewegungsgruppe des betrachteten Raumes. Davon gehen wir insbesondere bei der Formulierung des gruppentheoretischen Axiomensystems in 1. aus. In [Sl] wurde die pseudoeuklidische Ebene, dort minkowskische Ebene genannt, aus dem Spiegelungsbegriff sufgebaut ; weitere Beitrage zur ebenen pseudoeuklidischen Geome6rie sind in [9], [ll], [12] und in [18] enthalten. Um die vierdimensionale pseudoeuklidische Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff aufzubauen, wurde in 117 ] ein gruppentheoretisches Axiomensystem aufgestellt, das durch [21], [8] und [lo] angeregt wurde. In [17] konnte auch die affine Struktur zuruckgewonnen werden, jedoch fehlte dort noch die Ruckgewinnung der Metrik. Das ist im wesentlichen in [7] enthalten. Danach charakterisiert das Axiomensystem in [17] die pseudoeuklidischen Raume, fur die Ind V = 1 ist; jedoch 1&Bt sich die Formenmatrix entgegen der Vermutung in [17] 1 10 Ztschr. f. math. Loglk spricht, naher zu untersuchen.Unsere Vermutung, daB mit dem Aufbau der v i e r dimensionalen pseudoeuklidischen Geometrie aus Spiegelungsbegriff wesentliche Fortschritte bei der Losung der entsprechenden Aufgabe fur beliebige endlich bzw. unendlichl) dimensionale pseudoeuklidische Raume geleistet wurde, scheint sich zu bestatigen (vgl. 1241). Nach der FuBnote auf der Seite 342 in [2] hat sich auch WOLFF mit dieser Problematik befa&; da unsere Bemiihungen, diesbeziigliche Arbeiten zu erlialten, erfolglos geblieben sind, konnen wir nichts Naheres dariiber mitteilen.

Geometric Modular Action and Spacetime Symmetry Groups

“…So a first step in an attempt to characterize Minkowski space entirely in terms of the data ({R i } i∈I , Ω) would be to find the algebraic relations in the group T which would enable one to derive in this manner four-dimensional Minkowski space. This has been accomplished in one form [44], but the particular geometric significance of the initial algebraic data in our setting entails that a different set of algebraic axioms be determined [66]. The second step would be to determine which additional structure on I, or equivalently, which relations among the algebras in the net {R i } i∈I , imply via modular theory the requisite relations among the generating involutions J i (equivalently, τ i ) found in the first step.…”

On Deriving Space–Time from Quantum Observables and States

“…The approach in this paper differs from the method used both in [37] for two-dimensional Minkowski space and in [32] for four-dimensional Minkowski space. In these papers one begins by constructing the affine space.…”

“…In these papers one begins by constructing the affine space. In the two-dimensional case [37], the elements of the generating set G are identified with line reflections in an affine plane, while in the four-dimensional case [32], the elements of the generating set G are identified with reflections about hyperplanes in an affine space. Thus, in each of these papers, the generating set G is identified with a set of symmetries.…”