“Cut-Glue” Approximation in Problems on Static and Dynamic Mathematical Model Development

Abstract

The solution to the problem on building mathematical models of technical objects through the approximation of various experimental dependences is offered in the paper. This approach is especially true for modeling aircraft because the aerodynamic coefficients of their models can be obtained either by full-scale study or by computer simulation only. Currently, the experimental simulation is performed either through the regression analysis (RGA) methods, or through spline approximation. However, the RGA has a significant disadvantage, namely a poor approximability of piecewise and multiextremal dependencies. The RGA gives a rough approximation of the experimental data for similar curves. Spline approximation is free from this disadvantage. However, a high degree of discretization, a strict binding to the number of spline points, and a large number of equations, make this approach inconvenient for application when a compact model building and an analytic transformation are required. A problem solution combining the advantages of both approaches and clearing up the troubles is offered in the paper. The proposed approach is based on the regression construction of the mathematical models of the dependence fragments, the multiplicative excision of these fragments in the local functional form, and on the additive combining of these local functions into a single analytic expression. The effect is achieved by using special “selection” functions multiplicatively limiting a nonzero definition domain for each of the approximating functions. The method is named “cut-glue” by the physical analogy of the approximation techniques. The order and structure of the approximating function for each segment can be arbitrary. A significant advantage of the “cut-glue” approximation is in a single analytic expression of the whole piecewise function instead of a cumbersome system of equations. The analytical and numerical studies of the properties and operational experience of the proposed method are resulted.

Prospects of online use of mathematical models of the multiplicative-additive structure

“…В работах [1,2] Нейдорфом Р.А. предложен, обоснован и подтвержден различными прикладными практическими расчетами новый метод экспериментального моделирования, ориентированный на самые сложные задачи, связанные с аппроксимацией кусочных зависимостей.…”

“…Оба метода исключают или сильно затрудняют аналитическое преобразование ММ. Для устранения этого недостатка был разработан и предложен исследуемый в данной статье метод, названный «cut-glue аппроксимацией» [1,2]. Он позволяет представить кусочную зависимость одной аналитической функцией, которая имеет аддитивную структуру, составленную из мультипликативных членов.…”

“…Недостатком первоначально разработанного метода, развитого в [1,2], являлось то, что математический аппарат решения задачи аппроксимации был развит только применительно к одномерным зависимостям, т. е. позволял строить аппроксимирующие функции одной независимой переменной. Однако часто возникает необходимость аппроксимации многомерных зависимостей [9][10][11].…”

“…Другой пример построения многомерных моделей, имеющих явную кусочно-лоскутную структуру, дает задача математического описания состояния атмосферы, где в качестве параметров состояния выступают высота, давление, плотность, температура, влажность и пр. При этом профиль изменения многих параметров по высоте носит откровенно ломаный характер [1,2,13].…”

“…Основу предложенного в [1,2] метода составляет мультипликативное «вырезание» фрагментов будущей математической модели исследуемой зависимости. Фрагменты «вырезаются» из функций, с высокой точностью аппроксимирующих локальные экспериментальные данные в некоторой ограниченной области.…”