Chaos and integrability in $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$-geometry

Abstract

Мы даем обзор ситуации с интегрируемостью геодезических потоков на трехмерных многообразиях $\mathcal M^3$, допускающих одну из трех групповых геометрий в смысле Тeрстона, обращая особое внимание на случай $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$. Основными примерами являются факторы $\mathcal M^3_\Gamma=\Gamma\backslash \operatorname{PSL}(2,\mathbb R)$, где $\Gamma \subset \operatorname{PSL}(2,\mathbb R)$ - кофинитная фуксова группа. Мы показываем, что соответствующее фазовое пространство $T^*\mathcal M_\Gamma^3$ содержит две открытые области с интегрируемым и хаотическим поведением, в которых топологическая энтропия равна нулю и положительна соответственно. В качестве конкретного примера мы рассматриваем модулярное 3-многообразие с модулярной группой $\Gamma=\operatorname{PSL}({2,\mathbb Z})$. Известно, что в этом случае $\mathcal M^3_\Gamma$ оказывается гомеоморфным дополнению к узлу-трилистнику $\mathcal K$ в 3-сфере. Э. Жис доказал замечательный факт: поднятие периодических геодезических с модулярной поверхности на $\mathcal M^3_\Gamma$ приводит к тому же изотопическому классу узлов, который возник в хаотической версии знаменитой системы Лоренца и был подробно изучен Дж. Бирман и Р. Уильямсом. Мы показываем, что в интегрируемом пределе геодезической системы на $\mathcal M^3_\Gamma$ эти узлы переходят в кабельные узлы трилистника. Библиография: 60 названий.